蛇の補題

蛇の補題

蛇の補題は、ホモロジー代数やアーベル圏における基礎的な理論であり、短完全列から長完全列を形成する際に使用される重要な道具です。この補題は、特に代数トポロジーをはじめとする数学のさまざまな分野で幅広く利用されています。

補題の主張

任意のアーベル圏において、以下の条件を満たす可換図式を考えます。この図式には、2つの行が完全であり、0が零対象として存在します。この状態において、射a、b、cの核と余核を結ぶ完全列が存在します。この完全列は次のように表されます：

$$
\ker a \xrightarrow{f_} \ker b \xrightarrow{g_} \ker c \xrightarrow{d} \operatorname{coker} a \xrightarrow{f'_} \operatorname{coker} b \xrightarrow{g'_} \operatorname{coker} c
$$

ここで、$f_$や$g_$は、それぞれ$f$や$g$から自然に派生した射です。また、$d$は「連結準同型」として知られます。さらに、射$f$がモノ射である場合、$f_$もモノ射、$g'$がエピ射である場合、$g'_$はエピ射となります。

写像の構成

核間の写像や余核間の写像は、この可換図式の特性により、与えられた写像から自然に誘導されます。また、各完全列の完全性は元となる図式の行の完全性から即座に導かれます。連結準同型$d$が存在することが、この補題の重要なポイントです。具体的には、アーベル群や特定の環上の加群のケースにおいて、写像$d$をどのように構成できるかを見ていきます。

ここで、$ker c$の元$x$を考え、その元を符号したものと見なします。$g$が全射であるため、$B$の元$y$が存在し、$g(y) = x$となります。可換図式の性質から、$b(y)$は$g'$の核に属することが示されるため、具体的にその形で$z$を定義します。すなわち、$d(x) = z + im(a)$とします。

この関数$d$がwell-definedであること（すなわち、$d(x)$が$x$にのみ依存し、$y$の選び方に依存しないこと）や、$d$が準同型であること、そして得られる長い列が実際に完全であることなどが確認されれば、定理がアーベル群や環上の加群に対して証明されます。

名前の由来

この補題が「蛇」と名付けられている理由は、長完全列が核や余核を含む図式によって拡張され、その形状が蛇のように見えるところに由来します。具体的には、補題が提供する完全列が可換図式において蛇のような形を描いているのです。

自然性

応用において、得られた長完全列が自然であることを示す必要がある場合も多いです。これは、蛇の補題自体が関手的（functorial）であるため、前提となる図式に対して誘導される長完全列の間にも可換図式が存在することから明らかです。可換図式が縦に結合する場合に、それぞれの列に対して蛇の補題を適用することで、さらに別の長完全列の接続を示すことが可能です。

大衆文化における位置づけ

蛇の補題については、1980年の映画『It's My Turn』の中で、登場人物によってその証明が教えられるシーンもあり、この数学的概念が一般文化の中でも認識されるきっかけとなりました。

参考文献

• - Serge Lang著『Algebra』第三版
• - M. F. AtiyahとI. G. Macdonald著『Introduction to Commutative Algebra』
• - P. HiltonとU. Stammbach著『A course in homological algebra』

このように、蛇の補題はホモロジー代数を理解する上で欠かせない理論であり、多様な応用が展開されているのです。

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