表現 (数学)

数学における表現（representation, Darstellung）とは、抽象的な数学的体系を、より具体的で扱いやすい数理モデルに置き換えて捉える方法、あるいはそのようにして構成されたモデル自体のことを指します。

このような表現を考える主な目的は、公理系のみで定義されるような抽象的な対象や構造を、既知の、より具体的な対象や計算可能な構造として扱うことで、その性質を深く探求し、理解を深めることにあります。例えば、公理的に定義される抽象的なユークリッド空間を、そこに座標系を導入することで、数の組からなる具体的な空間（例えば$\text{R}^n$）として捉え直すことなどがこれに該当します。また、抽象的な群を、ある具体的な空間上の変換（写像）の集まりとして表現することも、構造をより視覚的、あるいは計算可能な形で理解するために行われます。

表現の典型的な例としては、線型写像を行列で表す行列表現や、群をある集合上の置換として捉える置換表現などがあります。歴史的な例として、ガロア理論において、方程式の根が持つ対称性を表すガロア群を、根の集合に対する置換群として表現することで、方程式の解法に関する深い洞察が得られました。これは、ある意味で表現論的な視点を含んでいると言えます。また、p進数の概念は、類体論の研究過程でクルト・ヘンゼルによって導入されましたが、これも有理数という対象を、代数関数の持つ性質に類比的な方法で「表現」したものと見なすことができます。

しかし、構成される表現は、しばしば元の抽象的な体系の全ての情報を完全に保持しているわけではなく、ある意味で情報を「潰している」状態にあります。元の情報が失われていない、すなわち潰れていない表現は、「忠実（faithful）」である、あるいは元の体系と「同型的（isomorphic）」であるなどと呼ばれます。

忠実な表現は、元の体系をそのまま別の形で捉えられるという意味で非常に重要ですが、同時に、ある体系が持ちうる様々な「潰れた」表現の全てを包括的に研究することで、かえって元の抽象的な体系そのものの性質を深く理解し、場合によってはそれを「復元」しようと試みることが、表現論の中心的な課題の一つとなっています。したがって、どのような表現が可能か、それらをどのように分類できるかを探求することが、元の体系を特徴づける強力な手段となります。また、特定の表現の仕方に依存しない、本質的な性質（不変量）を見つけ出すことで、元の体系を分類する試みも行われます。

今日、「表現論」という分野名で特に指されるのは、主に群や環といった代数系（さらに一般的には、リー群やリー環のような位相構造も持つ代数構造）を対象とし、それらを線型空間、射影空間、あるいはより一般的な加群上の変換として捉える研究分野です。これは換言すれば、与えられた代数系が、ある加群に対してどのように作用するか（つまり、加群の上の変換として働くか）を研究する理論と言えます。

特に、線型空間上の表現（線型表現）においては、抽象的な群や環の元を具体的な線型写像に対応させ、有限次元の場合であれば、さらに具体的に行列として書き表すことができます。これにより、一般線型群の代数的な部分群や商群として現れるいわゆる「古典群」の構造を解析したり、それらの上の調和解析（関数解析学や組合せ論などの手法を用いる）を展開することが可能になります。線型表現を考える際には、その空間の基礎となる体（係数体）が重要な役割を果たします。係数体の種類を変えることで、表現の振る舞いは大きく異なり得ます。例えば、標数0の体（実数体や複素数体など）上の「通常表現」と、正標数の体上の「モジュラー表現」では、その性質や理論の展開が大きく異なることが知られています。

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