代数関数

代数関数とは

数学における代数関数（だいすうかんすう、英: algebraic function）は、係数が多項式であるような多項式方程式

`p(y, x₁, ..., xm) = 0`

を満たすような関数 `y = f(x₁, ..., xm)` のことを指します。特に一変数の代数関数は、ある多項式

`a₀(x) + a₁(x)y + ... + an(x)yⁿ = 0`

の解 `y = f(x)` として定義されます。ここで、係数 `aᵢ(x)` は `x` の多項式です。

具体例

多くの代数関数は、有限回の代数演算（加算、減算、乗算、除算、整数乗、`n`乗根）を用いて陽的に表現できます。例えば、次のような関数がその典型的な例です。

`f(x) = 1/x` (方程式 `xf(x) - 1 = 0` の解)
`f(x) = √x` (方程式 `f(x)² - x = 0` の解)
* `f(x) = (√(1+x³)) / (x^(3/7) - √7 x^(1/3))` (複数の代数演算の組み合わせ)

しかし、全ての代数関数がこのように根号（べき根）だけで表せるわけではありません。例えば、`f(x)⁵ + f(x)⁴ + x = 0` という方程式で定義される関数は代数関数ですが、これは一般に根号だけでは表現できません。この事実は、エヴァリスト・ガロワやニールス・アーベルの研究によって明らかにされた代数方程式論の重要な結果に関連しています。

超越関数との対比

代数関数と対照的な概念として超越関数があります。代数関数ではない関数は全て超越関数と呼ばれます。代表的な超越関数には、指数関数 (`exp x`)、対数関数 (`log x`)、三角関数（`sin x`, `cos x`, `tan x` など）、ガンマ関数 (`Γ(x)`) などがあります。ただし、超越関数同士の合成が代数関数になる場合もあります。例えば、`cos(arcsin x)` は `√(1-x²)` と等しく、これは代数関数です。

多価性と分枝

一つの多項式方程式は、一般に複数の解を持ちます。例えば、`y² + x² = 1` は `y = ±√(1-x²)` という二つの解を持ちます。したがって、多項式方程式によって定義される代数関数は、多くの場合、一つの関数ではなく、複数の分枝（あるいは枝）と呼ばれる関数から構成されます。代数関数全体の振る舞いを考える際には、これらの分枝をまとめて一つの代数曲線として捉えることが有効です。

興味深いことに、代数関数の逆関数もまた代数関数になります。元の定義方程式 `p(x, y) = 0` において `x` と `y` の役割を入れ替え、`y` を変数とする多項式方程式と見なせば、`x` は `y` の代数関数として定義されるからです。

複素数の視点

代数関数、特にその解析的な性質を研究する上で、複素数の概念は非常に重要です。複素数全体は代数閉体であるという代数学の基本定理により、複素数の範囲ではどんな多項式も必ず根を持ちます。これにより、代数関数を定義する方程式 `p(x, y) = 0` は、xが複素数値を取る場合、yについても常に解を持つことが保証されます。

さらに、たとえ実数関数に興味がある場合でも、その表現に複素数が必要になることがあります。例えば、特定の三次方程式の解を根号で表す際には、実数の範囲では存在しない平方根や立方根（すなわち複素数）が必要になる場合があります。

複素解析の強力な手法を用いることで、代数関数が臨界点（定義方程式の判別式がゼロになるような点）を除いて解析関数であることが示されます。臨界点においては、複数の分枝が互いに繋がり、特異な振る舞い（代数的な分岐点）を示します。臨界点を避けて変数を動かすときの関数の分枝の入れ替わり方は、モノドロミー群として記述され、定義多項式のガロワ群と関連付けられます。

歴史的背景

代数関数に関する基本的な考え方は、17世紀のルネ・デカルトの研究に見られます。代数関数そのものが数学的研究の対象として意識され始めたのは、18世紀末のエドワード・ウェアリングの著作などが挙げられます。その後、アーベルやガロワによる代数方程式の解法に関する研究、そしてベルンハルト・リーマンによる複素関数論の発展を通じて、代数関数の理論は現代的な形へと発展していきました。

代数関数は、数学の様々な分野、特に代数幾何学、複素解析、数論などで基本的な役割を果たしています。

もう一度検索