複素線積分

複素解析における線積分

複素解析において、線積分は複素平面上の曲線に沿って定義される積分です。特に、積分路が閉曲線である場合、周回積分と呼ばれます。線積分は複素解析の強力な手法であり、留数計算と密接に関連しています。複雑な実変数関数の積分を容易に解くための手段としても用いられます。

線積分の計算方法

線積分は、以下の3つの主要な方法で計算できます。

1. 直接積分: 複素数値関数を複素平面上の曲線に沿って直接積分します。この方法は、曲線を媒介変数表示し、実変数関数の積分として計算します。
2. コーシーの積分公式の応用: 特異点の周りの積分を計算する際にコーシーの積分公式を用いることで、効率的な計算が可能です。
3. 留数定理の応用: 留数定理は、閉曲線に沿った積分をその内部の特異点の留数の和で表す定理です。この定理を用いることで、多重特異点を持つ場合でも積分を容易に計算できます。

これらの方法を単独で、あるいは組み合わせて用いることで、様々な複素積分を計算できます。また、必要に応じて極限操作を導入することもあります。

積分路

複素積分における積分路は、複素平面上の曲線です。積分路は、向き付けられた滑らかな曲線の有限個の列で構成されます。それぞれの曲線は、微分が消えず連続で、各点が一度だけ通過される(単射)性質を持ちます。閉曲線でない滑らかな曲線は滑らかな弧と呼ばれます。積分路は、滑らかな弧を繋ぎ合わせて構成され、その向きは積分路を構成する滑らかな弧の向きによって決定されます。積分路は、向き付けられた滑らかな曲線の有限個の列として表すことができます。

路に沿う積分

複素関数 f の路に沿う積分は、実数値関数の積分の複素数への拡張です。向き付けられた滑らかな曲線 γ 上の連続関数 f に対し、γ に沿う積分は実数値媒介変数 t 上の積分として定義できます。積分路 Γ は、向き付けられた滑らかな曲線 γ₁, γ₂, ..., γₙ の有限個の列からなり、γᵢ の終点が γᵢ₊₁ の始点と一致するという条件を満たします。この積分路 Γ に沿う積分は、各 γᵢ に沿う積分の総和として定義されます。積分路が閉曲線である場合、この積分は周回積分と呼ばれます。

連続関数の場合

複素数値関数 f(t) = u(t) + iv(t) の区間 [a, b] 上の積分は、実部と虚部の積分の和として定義されます。すなわち、

∫[a,b] f(t)dt = ∫[a,b] u(t)dt + i∫[a,b] v(t)dt

向き付けられた滑らかな曲線 γ 上の連続関数 f(z) の γ に沿う積分は、γ の径数付け z(t) を用いて、

∫γ f(z)dz = ∫[a,b] f(z(t))z'(t)dt

と計算できます。ここで、z'(t) は z(t) の導関数です。この積分は、径数付けの選び方に依存しません。

リーマン積分の一般化

複素変数のリーマン積分は、実変数のリーマン積分と同様の方法で定義されます。積分路を分割し、関数値の和の極限として積分を定義します。

直接計算

直接計算は、積分路を媒介変数表示し、実変数関数の積分として計算する方法です。単位円周 |z| = 1 を例に、z = e^(it) (0 ≤ t ≤ 2π) と媒介変数表示すると、dz = ie^(it)dt となるので、1/z の積分は

∮C 1/z dz = ∫[0,2π] 1/e^(it) * ie^(it) dt = ∫[0,2π] i dt = 2πi

と計算できます。

積分定理の応用

コーシーの積分公式や留数定理は、複素積分の計算に強力なツールとなります。これら定理を用いて、積分路を適切に選択し、積分を簡略化することで、複雑な積分を効率的に計算することができます。

積分計算の具体例

以降の節では、コーシーの積分公式や留数定理を用いて、様々な関数の複素積分を計算する例を示します。具体的には、コーシー分布、三角関数を含む積分、分岐切断を持つ関数、対数関数を含む積分などを扱います。これらの例を通して、複素積分の計算方法を理解することができます。

積分表現

多くの特殊関数は、積分表現を持ちます。積分表現は、関数の解析接続、関数等式、数値評価などの様々な目的に利用されます。例えば、リーマンゼータ関数の積分表現は、その定義域を拡張するために用いられます。

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