角運動量保存の法則

角運動量保存の法則

角運動量保存の法則は、物理学における最も基本的な保存則の一つで、回転運動に関する重要な原理です。この法則は、ある物理系（質点あるいは質点の集まり）に対して、外部から回転を引き起こそうとする力、すなわち「トルク（力のモーメント）」が働かない限り、その系全体の「角運動量」は時間によらず一定に保たれるというものです。角運動量とは、物体の回転の勢いを表すベクトル量であり、物体の質量、その速度、そして回転中心からの距離によって定義されます。

具体的に、一つの質点の場合、角運動量 $\boldsymbol{L}$ はその位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ と運動量 $\boldsymbol{p}$ の外積として定義されます。すなわち、$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$ です。この角運動量の時間変化率（時間微分）は、質点に働く外力 $\boldsymbol{F}$ によるトルク $\boldsymbol{N} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$ に等しくなります。これを式で表すと、$
$$
\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}
$$
となります。この関係式は「角運動量の定理」と呼ばれ、角運動量保存則の基礎となります。

この式から明らかなように、もし外力によるトルク $\boldsymbol{N}$ がゼロであれば、$d\boldsymbol{L}/dt = \boldsymbol{0}$ となり、角運動量 $\boldsymbol{L}$ は時間によらず一定、つまり保存されます。トルクがゼロとなるのは、外力が全く働かない場合や、外力の方向が位置ベクトルと平行である場合（力が回転中心を通る場合）などです。

複数の質点からなる系の場合、系全体の全角運動量は、各質点の角運動量の総和です。この全角運動量の時間変化率は、系に働く全ての外力によるトルクの総和に等しくなります。ただし、系を構成する質点間に働く力（内力）が、質点同士を結ぶ直線上にあるような中心力である場合に限ります。内力が中心力であれば、内力によるトルクの総和はゼロとなるため、結局、質点系の全角運動量の変化は外力による全トルクのみに依存することになります。

この法則は、身の回りの様々な現象に見られます。例えば、フィギュアスケートの選手がスピンをする際、腕を広げたり閉じたりすることで回転速度を変化させます。腕を体に引きつけると、体の重心からの腕までの距離（回転半径）が小さくなります。角運動量が保存されるためには、回転半径が小さくなった分だけ、回転速度（角速度）が増加する必要があるため、スピンが速くなるのです。

また、回転している独楽の安定した運動も角運動量保存と関連があります。独楽が垂直に立って回転しているとき、重力と床からの垂直抗力は回転軸上に働くため、独楽にかかるトルクはゼロです。このため、独楽の角運動量は保存され、安定した回転を続けます。しかし、独楽が傾くと、重力と垂直抗力の作用線が回転軸からずれ、トルクが発生します。このトルクが独楽の角運動量を変化させ、回転軸が鉛直軸の周りをゆっくりと回る「歳差運動（みそすり運動）」を引き起こします。この歳差運動も、角運動量の時間変化が外力トルクに等しいという法則に従っている現象です。

天体運動においても、角運動量保存則は極めて重要です。惑星が太陽の周りを公転する際に描く軌道は楕円ですが、惑星と太陽の間には主に引力が働いています。この引力は常に惑星と太陽を結ぶ直線上にあるため、太陽を回転中心と考えると、惑星に働く引力によるトルクはゼロになります。したがって、惑星の角運動量は保存されることになります。ケプラーの第二法則、すなわち「惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に掃過する面積（面積速度）は一定である」という法則は、この角運動量保存則と全く同じ内容を示しています。面積速度は角運動量の大きさに比例するため、面積速度一定は角運動量保存を意味するのです。

さらに広い視点で見ると、物理における保存則は、我々の住む宇宙が持つ「対称性」と深く結びついています。角運動量保存則は、空間がどの方向を向いても物理法則が変わらないという「空間の回転対称性」の現れであると解釈されます。同様に、運動量保存則は物理法則が場所によらず一定であるという「空間の並進対称性」に対応します。これらの対称性は、宇宙の根源的な性質を示唆していますが、弱い相互作用におけるパリティ対称性の破れが発見されたように、空間が必ずしも全ての対称性（鏡像対称性など）を持つわけではないこともわかっています。

角運動量保存の法則は、古典力学だけでなく、量子力学においても重要な役割を果たし、原子や素粒子の振る舞いを理解する上でも不可欠な概念となっています。

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