部分圏

部分圏

数学の一分野である圏論において、部分圏（ぶぶんけん、英: subcategory）とは、元の大きな圏の構成要素の一部を抜き出して得られる、それ自体が圏としての構造を保っている対象のことです。直観的には、元の圏からいくつかの対象や射を取り除いた結果として得られる圏と考えることができます。

定義

圏 $C$ が与えられたとき、その部分圏 $S$ は以下の要素から構成されます。

1. $C$ の対象全体の集まり ob($C$) の部分集まり ob($S$)
2. $C$ の射全体の集まり hom($C$) の部分集まり hom($S$)

これらの集まりは、以下の条件を満たす必要があります。

ob($S$) に含まれる任意の対象 $X$ に対し、$C$ における $X$ の恒等射 $\operatorname{id}_X$ は hom($S$) に含まれる。
hom($S$) に含まれる任意の射 $f: X \to Y$ に対し、その始域 $X$ と終域 $Y$ はともに ob($S$) に含まれる。
hom($S$) に含まれる任意の射の対 $f, g$ について、もし $C$ においてそれらの合成 $f \circ g$ が定義されるならば、その合成射 $f \circ g$ も hom($S$) に含まれる。

これらの条件によって、選ばれた対象と射が、元の圏 $C$ と同じ恒等射および射の合成のもとで閉じていることが保証され、$S$ 自身が圏としての構造を持つことになります。ob($S$) が $S$ の対象、hom($S$) が $S$ の射となり、恒等射と合成は $C$ におけるものと同一です。このとき、$S$ は $C$ の部分圏と呼ばれます。部分圏 $S$ から元の圏 $C$ への写像で、対象や射をそれぞれ対応する元の要素にそのまま移すものは、包含関手（inclusion functor）と呼ばれ、これは必ず忠実な関手となります。

充満部分圏

部分圏 $S$ が元の圏 $C$ の充満部分圏（full subcategory）であるとは、$S$ に含まれる任意の二つの対象 $X, Y$ について、$X$ から $Y$ への $S$ における射の集合 $\operatorname{Hom}_S(X,Y)$ が、$C$ における $X$ から $Y$ への射の集合 $\operatorname{Hom}_C(X,Y)$ と一致することをいいます。これは、充満部分圏が、選ばれた対象の間に元の圏に存在するすべての射を含んでいることを意味します。つまり、対象の選択によって一意に定まる部分圏です。$C$ の対象の任意の集まり $A$ に対して、それらの対象をすべて含み、かつそれらの対象間のすべての射を含むような $C$ の充満部分圏はただ一つ存在します。

例

部分圏の概念を具体的に理解するために、いくつかの例を見てみましょう。

有限集合の圏: これは、すべての集合とその間の写像からなる集合の圏において、対象を有限集合に限定した充満部分圏です。有限集合間の写像はすべて集合間の写像としても定義されており、それらがすべて含まれているため充満です。
集合と全単射の圏: これは、集合の圏において、射を全単射のみに限定した部分圏です。対象はすべての集合を含みますが、射が限定されているため充満ではありません。
アーベル群の圏: これは、すべての群とその間の群準同型からなる群の圏の充満部分圏です。アーベル群の間の任意の群準同型は群準同型であり、それがアーベル群の圏に含まれるため充満です。
単位元を持つ環の圏: これは、すべての環とその間の環準同型からなる環の圏において、対象を単位元を持つ環に限定し、射を単位元を保つ環準同型に限定した部分圏です。射に制約があるため充満ではありません。

埋め込み

部分圏 $S$ への包含関手 $I: S \to C$ は、異なる射を異なる射に写す（忠実）性質と、異なる対象を異なる対象に写す（対象上単射）性質を持ちます。この包含関手が充満であることと、$S$ が充満部分圏であることは同値です。圏論では、忠実かつ対象上単射な関手、あるいはより強く充満かつ忠実な関手を埋め込み（embedding）と呼ぶことがあります。埋め込み関手 $F: B \to C$ が存在する場合、その像（関手が写す先の対象と射からなる部分）は $C$ の部分圏となり、$B$ はその像の部分圏と同型になります。

その他の部分圏の種類

部分圏には、上記以外にもいくつかの特別な種類があります。

isomorphism-closed（あるいは replete）: 元の圏 $C$ の同型射 $k: X \to Y$ において、終域 $Y$ が部分圏 $S$ の対象であれば、その同型射 $k$ 自体も $S$ の射に含まれるような部分圏です。Isomorphism-closed かつ充満な部分圏は strictly full と呼ばれます。
wide（あるいは lluf）: これは、元の圏 $C$ のすべての対象を含む部分圏です。一般に充満ではありません。元の圏 $C$ 自身が、唯一の充満かつ wide な部分圏です。
Serre subcategory: これはアーベル圏において定義される、空でなく充満であり、短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ に対して、$M$ がこの部分圏に属することと $M'$ と $M''$ の両方が属することが同値であるような部分圏です。

部分圏の概念は、圏論における基本的な構成法であり、様々な数学的構造の関係性を理解する上で重要な役割を果たします。

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