環の圏
圏論における環の圏 (Category of Rings)、記号Ringで表されるこの圏は、数学、特に抽象代数学において中心的な役割を果たします。その対象は単位元を持つ結合的な環すべてであり、射は単位元を保つ環準同型写像です。他の多くの重要な圏と同様に、Ringは「大きい圏」であり、対象の集まりは集合ではなく真の類をなします。
環の圏Ringは「具体圏」として理解できます。これは、その対象が集合に環の演算（加法と乗法）という追加の構造を持たせたものであり、射がこれらの構造を尊重する写像であるためです。Ringから集合の圏Setへの自然な忘却函手 U: Ring → Set が存在します。これは、各環からその underlying set だけを取り出す（演算の構造を「忘れる」）働きをします。この忘却函手Uの左随伴函手 F: Set → Ring は自由函手と呼ばれ、任意の集合Xに対して、その集合Xが生成する自由環を対応させます。
Ringはまた、アーベル群の圏Abやモノイドの圏Mon上の具体圏と見ることもできます。乗法や加法といった特定の構造を忘れることで、以下の忘却函手が得られます。
A: Ring → Ab （環の加法群を取り出す函手）
M: Ring → Mon （環の乗法モノイドを取り出す函手。吸収元付きの乗法モノイドと見なす場合もあります）
これらの函手もそれぞれ左随伴を持ちます。Aの左随伴は、アーベル群XをZ-加群と見なし、それに対するテンソル環T(X)を対応させる函手です。Mの左随伴は、モノイドGに対して整係数モノイド環Z[G]を対応させます。
Ringは完備かつ余完備です。つまり、任意の小さい図式に対する極限および余極限がRing内に存在します。Setへの忘却函手Uは極限およびフィルター余極限を「創出」し、それらを保存します。しかし、余積や余等化子は一般に保存しません。AbやMonへの忘却函手も極限を創出・保存します。
Ringにおける重要な極限と余極限の例を挙げます。
始対象: 有理整数環 Z です。
終対象: 零環 (自明環 {0}) です。
積: 環の族の圏論的積は、台集合の集合論的直積に成分ごとの環演算を入れた環の直積として得られます。
余積: 環の族の余積は存在しますが、これは群の自由積に類似した構成を持ちます。興味深いことに、零環でない環の余積が零環となることがあります。これは、各余積因子の標数が互いに素である場合に起こり得ます。
等化子: 二つの環準同型に対する等化子は、集合論的な等化子と一致し、必ず部分環となります。
余等化子: 二つの環準同型 f, g: R → S の余等化子は、Sを{f(r) - g(r) | r ∈ R}の形の元全体で生成されるイデアルで割った剰余環です。
核対: 環準同型 f: R → S の核対（fとfの引き戻し）はR上の合同関係を定めます。この合同関係に対応するイデアルは、環論におけるfの核に他なりません。なお、Ringには零射が存在しないため、圏論的な意味での「核」の概念は適用されません。
逆極限: p-進整数環 Zpは、整数の合同類環 Z/pnZの列がなすRingにおける逆極限です。
Ringの任意の二つの対象間に必ずしも射が存在するわけではありません。これは、環準同型が単位元を保つという性質によるものです。例えば、零環から非零環への射は存在しません。RからSへの射が存在するためには、Sの標数がRの標数で割り切れることが必要です。射集合が空となり得る場合があるにもかかわらず、始対象Zが存在するため、Ringは連結な圏です。
Ringにおける射について、以下が知られています。
同型射: 集合論的な全単射である環準同型です。
単型射: 集合論的な単射である環準同型です。ただし、すべての単型射が「正則」であるわけではありません。
全型射: 集合論的な全射である環準同型は常に全型射ですが、逆は一般に成り立ちません。例えば、包含写像 Z → Q は集合論的には全射ではありませんが、圏論的には全型射です。また、可換環の局所化への自然な射も同様の例です。
正則全射または極値的全射: Ringにおいては、これらは集合論的な全射である環準同型として特徴づけられます。
双型射: 集合論的に単射かつ圏論的に全型射である射です。包含射 Z → Q は、同型射ではない双型射の一例です。
入射対象: 同型を除いて、Ringの入射対象は零環{0}のみです。
零射: Ringには零射が存在しません。したがって、Ringは「前加法圏」とはなり得ません。ただし、任意の個別の環自身は、それをただ一つの対象を持つ圏と見た場合に前加法圏となります。
対称モノイド圏: Ringは、環のテンソル積 ⊗Z をモノイド積とし、有理整数環Zを単位対象とする対称モノイド圏の構造を持ちます。エックマン–ヒルトンの定理により、Ringにおけるモノイド対象は可換環に他なりません。Ringにおいてモノイド対象R（すなわち可換環）が対象Aに作用することは、ちょうどAがR-多元環であることを意味します。
Ringは、可換環、整域、主イデアル環、体などの全体のなす重要な充満部分圏を複数持ちます。
すべての可換環を対象とするCRingは、Ringの充満部分圏であり、可換環論の中心的な研究対象です。任意の環を、xy − yx の形で生成されるイデアルで割ることで可換環化する函手は、RingからCRingへの包含函手の左随伴となり、これによりCRingはRingの反映的部分圏となります。集合Eから生成される自由可換環は、Eの元を不定元とする多項式環Z[E]であり、この構成を与える函手はCRingからSetへの忘却函手の左随伴です。
CRingにおける極限は、Ringにおけるそれと一致します。しかし、余極限は一般には異なります。CRingにおける余極限は、Ringにおける余極限を取った後、可換化することで得られます。二つの可換環の余積は、それらの環のテンソル積R ⊗Z Sによって与えられます。ここでも、二つの非零可換環の余積が零環となり得ます。
CRingの反対圏CRing^opは、アフィンスキームの圏と圏同値です。この同値は、可換環をそのスペクトル（素イデアル全体の空間）に対応させる反変函手によって与えられます。
CRingの充満部分圏であるFieldは、すべての可換体を対象としますが、他の代数圏とは異なり、あまり「良い振る舞い」をしません。FieldからSetへの忘却函手は左随伴（「自由体」）を持たないため、FieldはCRingの反映的部分圏ではありません。
Fieldは有限完備でも有限余完備でもありません。特に、積や余積を持ちません。Fieldのもう一つの特徴は、任意の射が単型射であることです。これは体のイデアルが零イデアルか全体に限られることに起因し、Fieldの射は体の拡大と見なせます。また、Fieldは連結ではなく、標数が異なる体の間には射が存在しません。各標数p（0または素数）に対する体の全体が、Fieldの連結成分を形成し、それぞれの成分は始対象（素体QまたはFp）を持ちます。
群の圏 (Grp): 環Rからその単元群U(R)への函手Ring → Grpが存在します。この函手は、群Gを整係数群環Z[G]に送る函手Grp → Ringを左随伴に持ちます。他に、環Rに射影線型群PGL(2,R)を対応させる函手もあります。
多元環の圏 (R-Alg): 固定された可換環R上のR-多元環の圏R-Algも重要です。Ringは、Z-多元環の圏Z-Algと圏同型であり、多くの性質がR-Algに一般化されます。R-AlgからRingへの忘却函手は、R ⊗Z Aを対応させる左随伴を持ちます。
* 擬環の圏 (Rng): 文献によっては、単位元を仮定しない結合的な代数構造を扱うことがあり、これを擬環（非単位的環）と呼びます。すべての擬環を対象とし、擬環準同型を射とする圏Rngは、Ringとは異なる圏です。RingはRngの充満でない部分圏となります（擬環準同型は単位元を保つとは限らないため）。Rngは零環を零対象として持ち、零射が存在しますが、前加法圏にはなりません。Rngにおける余積は、擬環の直和とは異なります。AbからRngへの忠実充満函手が存在し、アーベル群に自明な積を入れた零擬環を対応させます。
環の圏Ringとその関連する圏や函手の研究は、代数学、特にホモロジー代数や代数幾何学において基本的な概念を提供しています。
具体圏としてのRing
環の圏Ringは「具体圏」として理解できます。これは、その対象が集合に環の演算（加法と乗法）という追加の構造を持たせたものであり、射がこれらの構造を尊重する写像であるためです。Ringから集合の圏Setへの自然な忘却函手 U: Ring → Set が存在します。これは、各環からその underlying set だけを取り出す（演算の構造を「忘れる」）働きをします。この忘却函手Uの左随伴函手 F: Set → Ring は自由函手と呼ばれ、任意の集合Xに対して、その集合Xが生成する自由環を対応させます。
Ringはまた、アーベル群の圏Abやモノイドの圏Mon上の具体圏と見ることもできます。乗法や加法といった特定の構造を忘れることで、以下の忘却函手が得られます。
A: Ring → Ab （環の加法群を取り出す函手）
M: Ring → Mon （環の乗法モノイドを取り出す函手。吸収元付きの乗法モノイドと見なす場合もあります）
これらの函手もそれぞれ左随伴を持ちます。Aの左随伴は、アーベル群XをZ-加群と見なし、それに対するテンソル環T(X)を対応させる函手です。Mの左随伴は、モノイドGに対して整係数モノイド環Z[G]を対応させます。
圏論的な性質
Ringは完備かつ余完備です。つまり、任意の小さい図式に対する極限および余極限がRing内に存在します。Setへの忘却函手Uは極限およびフィルター余極限を「創出」し、それらを保存します。しかし、余積や余等化子は一般に保存しません。AbやMonへの忘却函手も極限を創出・保存します。
Ringにおける重要な極限と余極限の例を挙げます。
始対象: 有理整数環 Z です。
終対象: 零環 (自明環 {0}) です。
積: 環の族の圏論的積は、台集合の集合論的直積に成分ごとの環演算を入れた環の直積として得られます。
余積: 環の族の余積は存在しますが、これは群の自由積に類似した構成を持ちます。興味深いことに、零環でない環の余積が零環となることがあります。これは、各余積因子の標数が互いに素である場合に起こり得ます。
等化子: 二つの環準同型に対する等化子は、集合論的な等化子と一致し、必ず部分環となります。
余等化子: 二つの環準同型 f, g: R → S の余等化子は、Sを{f(r) - g(r) | r ∈ R}の形の元全体で生成されるイデアルで割った剰余環です。
核対: 環準同型 f: R → S の核対（fとfの引き戻し）はR上の合同関係を定めます。この合同関係に対応するイデアルは、環論におけるfの核に他なりません。なお、Ringには零射が存在しないため、圏論的な意味での「核」の概念は適用されません。
逆極限: p-進整数環 Zpは、整数の合同類環 Z/pnZの列がなすRingにおける逆極限です。
射の性質
Ringの任意の二つの対象間に必ずしも射が存在するわけではありません。これは、環準同型が単位元を保つという性質によるものです。例えば、零環から非零環への射は存在しません。RからSへの射が存在するためには、Sの標数がRの標数で割り切れることが必要です。射集合が空となり得る場合があるにもかかわらず、始対象Zが存在するため、Ringは連結な圏です。
Ringにおける射について、以下が知られています。
同型射: 集合論的な全単射である環準同型です。
単型射: 集合論的な単射である環準同型です。ただし、すべての単型射が「正則」であるわけではありません。
全型射: 集合論的な全射である環準同型は常に全型射ですが、逆は一般に成り立ちません。例えば、包含写像 Z → Q は集合論的には全射ではありませんが、圏論的には全型射です。また、可換環の局所化への自然な射も同様の例です。
正則全射または極値的全射: Ringにおいては、これらは集合論的な全射である環準同型として特徴づけられます。
双型射: 集合論的に単射かつ圏論的に全型射である射です。包含射 Z → Q は、同型射ではない双型射の一例です。
その他の性質
入射対象: 同型を除いて、Ringの入射対象は零環{0}のみです。
零射: Ringには零射が存在しません。したがって、Ringは「前加法圏」とはなり得ません。ただし、任意の個別の環自身は、それをただ一つの対象を持つ圏と見た場合に前加法圏となります。
対称モノイド圏: Ringは、環のテンソル積 ⊗Z をモノイド積とし、有理整数環Zを単位対象とする対称モノイド圏の構造を持ちます。エックマン–ヒルトンの定理により、Ringにおけるモノイド対象は可換環に他なりません。Ringにおいてモノイド対象R（すなわち可換環）が対象Aに作用することは、ちょうどAがR-多元環であることを意味します。
重要な部分圏
Ringは、可換環、整域、主イデアル環、体などの全体のなす重要な充満部分圏を複数持ちます。
可換環の圏 (CRing)
すべての可換環を対象とするCRingは、Ringの充満部分圏であり、可換環論の中心的な研究対象です。任意の環を、xy − yx の形で生成されるイデアルで割ることで可換環化する函手は、RingからCRingへの包含函手の左随伴となり、これによりCRingはRingの反映的部分圏となります。集合Eから生成される自由可換環は、Eの元を不定元とする多項式環Z[E]であり、この構成を与える函手はCRingからSetへの忘却函手の左随伴です。
CRingにおける極限は、Ringにおけるそれと一致します。しかし、余極限は一般には異なります。CRingにおける余極限は、Ringにおける余極限を取った後、可換化することで得られます。二つの可換環の余積は、それらの環のテンソル積R ⊗Z Sによって与えられます。ここでも、二つの非零可換環の余積が零環となり得ます。
CRingの反対圏CRing^opは、アフィンスキームの圏と圏同値です。この同値は、可換環をそのスペクトル（素イデアル全体の空間）に対応させる反変函手によって与えられます。
体の圏 (Field)
CRingの充満部分圏であるFieldは、すべての可換体を対象としますが、他の代数圏とは異なり、あまり「良い振る舞い」をしません。FieldからSetへの忘却函手は左随伴（「自由体」）を持たないため、FieldはCRingの反映的部分圏ではありません。
Fieldは有限完備でも有限余完備でもありません。特に、積や余積を持ちません。Fieldのもう一つの特徴は、任意の射が単型射であることです。これは体のイデアルが零イデアルか全体に限られることに起因し、Fieldの射は体の拡大と見なせます。また、Fieldは連結ではなく、標数が異なる体の間には射が存在しません。各標数p（0または素数）に対する体の全体が、Fieldの連結成分を形成し、それぞれの成分は始対象（素体QまたはFp）を持ちます。
関連する圏と函手
群の圏 (Grp): 環Rからその単元群U(R)への函手Ring → Grpが存在します。この函手は、群Gを整係数群環Z[G]に送る函手Grp → Ringを左随伴に持ちます。他に、環Rに射影線型群PGL(2,R)を対応させる函手もあります。
多元環の圏 (R-Alg): 固定された可換環R上のR-多元環の圏R-Algも重要です。Ringは、Z-多元環の圏Z-Algと圏同型であり、多くの性質がR-Algに一般化されます。R-AlgからRingへの忘却函手は、R ⊗Z Aを対応させる左随伴を持ちます。
* 擬環の圏 (Rng): 文献によっては、単位元を仮定しない結合的な代数構造を扱うことがあり、これを擬環（非単位的環）と呼びます。すべての擬環を対象とし、擬環準同型を射とする圏Rngは、Ringとは異なる圏です。RingはRngの充満でない部分圏となります（擬環準同型は単位元を保つとは限らないため）。Rngは零環を零対象として持ち、零射が存在しますが、前加法圏にはなりません。Rngにおける余積は、擬環の直和とは異なります。AbからRngへの忠実充満函手が存在し、アーベル群に自明な積を入れた零擬環を対応させます。
環の圏Ringとその関連する圏や函手の研究は、代数学、特にホモロジー代数や代数幾何学において基本的な概念を提供しています。
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