部分群の指数

群論における部分群の指数

数学の群論において、群 G に関連する部分群 H の指数は、G における H の「相対的な大きさ」を示す重要な概念です。この指数は、G を部分群 H の「コピー」で埋め尽くす剰余類の個数と捉えることもできます。具体的には、H の G における指数は通常 |G : H| や [G : H]、または (G:H) という表記で表されます。

指数の定義と例

H の G における指数は、H の G における剰余類の数として正確に定義され、左剰余類の数は右剰余類の数と常に等しいです。たとえば、整数の加法群 Z に対して、偶数全体を含む部分群 2Z を考えます。この場合、2Z は Z において偶数と奇数の2つの剰余類を持つため、2Z の Z における指数は 2 となります。この概念を一般化すると、任意の正の整数 n に対して |Z : nZ| = n が成り立ちます。

また、N が G の正規部分群であるとき、G における N の指数は商群 G / N の位数と等しくなります。これは、G における N の剰余類に対する群の構造から導かれるものです。

無限群と有限群の指数

無限の群 G を考えると、部分群 H の指数は通常、ゼロでない基数を持ちます。この場合、部分群の指数は有限であることもあれば、正の整数であることもあります。有限群 G と H が与えられた場合、H の G における指数は、G の位数を H の位数で割った商として表せます：

$$ |G:H| = \frac{|G|}{|H|}. $$

これはラグランジュの定理に基づいており、この場合の商は常に正の整数となります。

指数に関する性質

具体的な性質として、部分群 H が G の部分群で、K が H の部分群である場合、次の不等式が成り立ちます：

$$ |G:K| = |G:H| imes |H:K|. $$

また、H および K が G の部分群である場合、次の不等式も成り立ちます：

$$ |G:H \cap K| \leq |G:H| \times |G:K|. $$

この等式は、HK = G である場合に成り立ちます。さらに、G と H が群であれば、準同型 φ: G → H の核の G における指数は、像の位数に等しいことが知られています：

$$ |G:ker φ| = |im φ|. $$

また、群 G が集合 X に作用しているときに、x ∈ X の G における軌道の濃度は、その固定部分群の指数に等しいことも重要です：

$$ |Gx| = |G:G_x|. $$

この関係は「orbit-stabilizer theorem」として知られています。

指数が無限の部分群

H が G に対して無限個の剰余類を持つ場合、H の G における指数は無限大に近くなると言います。具体的には、H の指数は G における可算または非可算の剰余類の数に依存します。

有限指数と正規部分群

無限群 G は、しばしば有限指数の部分群 H を持つことがあります（たとえば、整数全体の群における偶数全体の部分群など）。このような部分群は、必ず有限指数の正規部分群 N を含みます。興味深い結果として、H が指数 n を持つ場合、N の指数は n! のいずれかの因子として形成できます。

特に、H の指数が 2 であれば、これは一般的な結果であり、N もまた指数 2 を持つことが示されています。したがって、H はその核と等しいすなわち正規である、ということになります。

素数冪群の正規部分群

また、特定の数の正規部分群に関する研究も進んでおり、例えば、素数冪の指数の正規部分群は p-群への全射写像の核としての特徴を持っています。具体的には、3つの主要な正規部分群があり、それぞれ特定のクラス内で最小の正規部分群となります。このような部分群の性質は、群の幾何学的構造にも強い影響を与えます。

これらの結果は群論における重要な役割を果たしており、群全体の構造や特性を理解する上で不可欠な要素となっています。

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