開かつ閉集合

概要と定義

位相空間論における開かつ閉集合（かいかつへいしゅうごう）とは、その空間内で「開集合」であると同時に「閉集合」でもあるような特別な性質を持つ集合です。一般的な意味での「開」と「閉」は対義語のように思われがちですが、数学におけるこれらの概念は必ずしも排他的ではありません。したがって、開かつ閉集合が存在し得ることは、しばしば初学者の直観に反すると感じられます。英語では、closed-open set を短縮して「clopen set（クローペンセット）」とも呼ばれます。

ある位相空間 X の部分集合 A が開かつ閉集合であることと、A およびその補集合 X−A の両方が X の開集合であることは同値です。もし A が開集合かつ閉集合であれば、その補集合 X−A は閉集合かつ開集合になります。

具体例

開かつ閉集合の概念を理解するために、いくつか例を見てみましょう。

最も単純な例は、任意の位相空間 X における空集合（∅）と全体集合 X 自身です。定義により、空集合は開集合でもあり閉集合でもあります。同様に、全体集合 X も開集合かつ閉集合です。これらはどのような位相空間においても常に存在する開かつ閉集合です。

次に、より非自明な例を考えます。[実数直線]] R に通常の位相を入れた空間を考えます。この空間では、一般的な開区間 (a, b) は開集合ですが閉集合ではありませんし、閉区間 [a, b] は閉集合ですが開集合ではありません。しかし、連結でない空間を考えると様子が変わります。例えば、X を実数直線の2つの開区間 (0,1) と (2,3) の和集合 X = (0,1) ∪ (2,3) とし、X に R から誘導される相対位相を考えます。この空間 X の中で見ると、集合 (0,1) は開集合（Xの開集合]とRの[開集合]の共通部分）であり、そのXにおける補[[集合 X-(0,1) = (2,3) も開集合です。したがって、(0,1) は X の開かつ閉集合となります。同様に、(2,3) も X の開かつ閉集合です。これは、位相空間 X が有限個の連結成分（この例では (0,1) と (2,3)）の和集合として表される場合に、個々の連結成分が X の開かつ閉集合となる典型的な例です。

さらにもう一つ例を挙げましょう。有理数全体の集合 Q に、実数直線 R から誘導される通常の相対位相を導入します。ここで、集合 A を「正の有理数 x であって、その平方 x² が 2 より大きくなるもの全体」 A = { x ∈ Q  |  x > 0, x² > 2 } と定義します。√2 が有理数でないことを利用すると、この集合 A が Q の開かつ閉集合であることを示すことができます。具体的には、A は Q 内で開集合であり、その補集合 Q−A = { x ∈ Q  |  x ≤ 0 または x² ≤ 2 } も Q 内で開集合となります。（補足ですが、この集合 A は R の部分集合と見なした場合、R の開集合でも閉集合でもありません。）

重要な性質

開かつ閉集合は、位相空間の様々な構造、特に連結性や次元に関わる重要な性質を持っています。

連結性との関係: 位相空間 X が連結であることと、X の開かつ閉集合が空集合と全体集合 X のちょうど2つだけであることとは同値です。つまり、空集合と全体集合以外の開かつ閉集合が存在しない空間は連結であり、逆に連結でない空間には必ず空集合と全体集合以外の開かつ閉集合が存在します。
境界との関係: 位相空間 X の部分集合 A が開かつ閉集合であることと、その境界（boundary）が空集合であることとは同値です。境界を持たない集合が開かつ閉集合なのです。
連結成分との関係: 位相空間 X の任意の開かつ閉集合は、X の（場合によっては無限個の）連結成分の和集合として表現できます。また、もし X の全ての連結成分が開集合であるならば（例えば X が有限個の連結成分しか持たない場合や、局所連結空間の場合）、部分集合 A が X の開かつ閉集合であることと、A が X の連結成分の和集合であることとは同値になります。
離散空間との関係: 位相空間 X において、その全ての部分集合が開かつ閉集合であることと、X が離散空間（全ての1点集合が開集合であるような空間）であることとは同値です。
代数的構造: 位相空間 X の開かつ閉集合全体の集合は、集合の和集合（∪）を和、共通部分（∩）を積とする演算の下で、ブール代数という代数的構造を成します。興味深いことに、任意のブール代数は、適切な位相空間の開かつ閉集合全体として実現できることが知られています。
0次元性との関係: 位相空間 X が0次元空間であること（ハウスドルフ空間であり、かつ任意の点が開かつ閉集合から成る基本近傍系を持つこと）は、開かつ閉集合の存在と関連が深いです。

このように、開かつ閉集合は位相空間の連結性や構造を理解する上で非常に基本的な役割を果たします。

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