関数の台

数学における函数の台（support）とは、直感的には「函数がゼロでない値をとる場所」を示す概念です。

基本的な定義

与えられた集合 X 上で定義された函数 f に対して、その台 supp(f) は、函数 f の値がゼロではない点 x ∈ X 全体からなる集合として定義されます。


supp(f) = {x ∈ X | f(x) ≠ 0}


これは集合論的な定義ですが、解析学などの文脈では、この集合の閉包を台と定義することもあります。特に、X が位相空間であり、f が連続函数であるような状況では、後者の定義が一般的です。この場合、台は常に閉集合となります。台が有界な函数は、様々な双対性の理論において重要な役割を担います。

様々な種類の台

台には、その性質に応じていくつかの種類があります。

有限台：函数の台 supp(f) が有限集合である場合を指します。これは、定義域 X の有限個の点を除いて、函数の値がすべてゼロであるということです。

閉台：前述のように、位相空間上の連続函数に対して台を定義する際に、値がゼロでない点の集合の閉包をとる場合です。これにより得られる台は必ず閉集合になります。

* コンパクト台：台 supp(f) が定義域 X のコンパクト部分集合である場合を指します。X が実数直線のような空間でハウスドルフ性を満たす場合、コンパクトな台を持つ函数は、無限遠点においてその値がゼロに収束する函数と考えることができます。ユークリッド空間上で定義された、滑らかでコンパクトな台を持つ実数値函数は隆起函数と呼ばれ、特に軟化子はその重要な例として、解析学、特に超函数論において滑らかでない対象を近似する際に活用されます。また、適切な条件下では、コンパクト台を持つ函数は、無限遠で消える函数全体の空間の中で「密に存在する」（稠密である）ことが知られています。

定義域・値域の拡張

台の概念は、函数の値域が実数や複素数だけでなく、零元 0 を含む任意の集合 M への写像 f: X → M に対しても自然に拡張できます。また、乗法的な構造を持つ代数的構造（例えば単位元 1 を持つモノイドや群） M への写像に対しては、ゼロの代わりに単位元 1 を基準にして台を考えることも可能です。具体例としては、自然数から整数への写像（無限整数列）を考えたとき、その中で有限台を持つものは、ゼロでない項が有限個しかない列、すなわち実質有限列と呼ばれ、全体の集合（非可算）の中で可算集合をなします。

超函数（測度）の台

函数の概念を拡張した超函数や測度に対しても、台の概念を考えることができます。例えば、実数直線上のディラックのデルタ超函数 δ(x) の台は、一点集合 {0} です。これは、点 0 を含まない台を持つ滑らかな試験函数を δ に作用させると値がゼロになることから分かります。

一般に、超函数 f がある開集合 U 上で「消えている」とは、台が U に含まれる任意の試験函数 φ に対して f(φ) = 0 が成り立つことを言います。超函数の台 supp(f) は、f が消えているような最大の開集合の補集合として定義されます。

特異台

超函数の台に関連して、特異台（singular support）という概念も重要です。これは直感的に、超函数が「その点で滑らかな函数として振る舞えない」ような点全体の集合と解釈できます。フーリエ解析の文脈で特に有用であり、例えばヘヴィサイドの階段函数のフーリエ変換（x=0を除けば1/x）の特異台は {0} です。多変数の超函数における特異台は、波面集合の定義やホイヘンスの原理の理解に役立ちます。また、超函数論特有の現象、例えばデルタ超函数同士の積が定義できないといった問題も、特異台が関係していることがあります。

層の理論との関連

位相空間 X 上の層の理論においても、台の概念は中心的な役割を果たします。位相空間 X の閉集合族のうち、特定の下方閉性や有限合併に関する性質を満たすものを台の族（family of supports）と呼びます。非コンパクト多様体におけるポアンカレ双対性を考察する際などに、この台の族や「コンパクト台」の概念が自然に導入され、理論構築に不可欠となります。

このように、数学における「台」という概念は、函数、超函数、さらにはより抽象的な対象である層に至るまで、様々な文脈でその形を変えながら適用され、それぞれの理論において基本的な役割を担っています。

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