非可換調和解析

非可換調和解析について

非可換調和解析とは、数学の一分野であり、特にフーリエ解析の理論を非可換の位相群に拡張することに特化しています。この研究は、局所コンパクト可換群における調和解析から派生し、より広い範囲に及ぶ理論の発展を目指します。

フーリエ解析の背景

局所コンパクト可換群における調和解析は、フーリエ級数やフーリエ変換の基本的な内容を含んでおり、ポントリャーギン双対性という深い理論が存在します。この理論においては、Ｇと呼ばれる任意の局所コンパクト群に対して、可換群の調和解析理論を拡張しようと試みることが、この分野の中心に位置しています。

特に、1920年代にピーター・ワイルにより提唱された定理は、コンパクト群における調和解析を理解するための重要な基礎を築きました。その結果、非可換調和解析では、Ｇがコンパクトでも可換でもない局所コンパクト群に対する理論の構築が主な課題となっています。

非可換調和解析の主要な関心

興味深いことに、非可換調和解析は、リー群やp-進体上の代数群などの複雑な構造を持つ群を対象としています。これらの群は数理物理学や現代数論においても広く応用され、特に保型表現論に関連した分野で重要な役割を果たします。

フォンノイマンによる理論的な進展もこの分野において重要です。彼は、Gのフォンノイマン群環がI-型である場合、Gにおけるユニタリ表現であるL2(G)が既約表現の直積分に分解されることを示しました。この結果は、ユニタリ表現の同型類全体が集合として骨子を成すことを示しています。

プランシュレルの定理と一般化

さらに、プランシュレルの定理は、非可換の領域においても重要です。この定理は、直積分を取ることとユニタリ双対群上の測度であるプランシュレル測度を同一視することによって、抽象的に成り立っています。また、ポントリャーギン双対性においては、プランシュレル測度がGの双対群上の特定のハール測度に一致することが示されており、正規化の問題に焦点が当てられています。

全体的な展望

他方で、一般の局所コンパクト群や可算離散群においては、そのフォンノイマン群環が必ずしもI-型とは限らず、Gの正則表現が既約表現の形で表現できない場合も見受けられます。これは特に無限対称群において顕著であり、ここではフォンノイマン群環が超有限 II1-型因子環となることが多いです。

非可換調和解析に関するさらなる研究では、プランシュレル測度が離散と連続の部分に分解される様子が示されており、特に半単純群や可解リー群に対する非常に詳細な理論が確立されています。

このように、非可換調和解析は、現代数学の中でも重要な位置を占めており、様々な分野との関連性を持つ興味深い領域です。

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