領域 (解析学)

数学、特に解析学の分野における「領域」（英: domain, region）は、有限次元ベクトル空間内に存在する、連結でありかつ開集合であるような部分集合を指す基礎的な用語です。

解析学における領域という言葉は、例えば偏微分方程式論やソボレフ空間論などで、関数の「定義域（domain of definition）」という意味で用いられる「domain」という語とは区別される場合があります。

境界の滑らかさの重要性

領域が持つ重要な性質の一つに、その境界の滑らかさがあります。領域上で定義される様々な関数や、それらに関する定理の性質は、境界がどの程度滑らかであるかに大きく依存します。たとえば、微分積分学の重要な定理であるグリーンの定理やストークスの定理などの積分定理を適用するためには、領域の境界が十分に滑らかである必要があります。また、ソボレフ空間の性質や、領域の境界上で定義される関数空間（トレース空間）を考える際にも、境界に対する特定の滑らかさが要求されます。

解析学の研究においては、境界の滑らかさの程度に応じて、様々な種類の領域が扱われます。広く研究されているものとしては、境界が連続である領域、より強い条件であるリプシッツ連続な境界を持つ「リプシッツ領域」、さらにはC¹級の滑らかさを持つ境界を備える領域などがあります。

有界領域と外部

領域が有界集合である場合、それを「有界領域（bounded domain）」と呼びます。これに対して、有界領域の補集合（その領域に含まれない点の全体）の内部は、「外部（exterior）」あるいは「外部領域（external domain）」と呼ばれます。

複素解析における領域

複素解析の分野では、単に「領域（domain）」、あるいは「複素領域（complex domain）」という言葉が、複素平面 ℂ 内の任意の連結な開部分集合を指すために用いられます。複素平面そのものも複素領域ですし、原点を中心とする開単位円や、虚部が正である点の集合である開上半平面なども複素領域の例です。特に、複素解析の中心的な対象である正則関数を考える際には、しばしばこのような複素領域がその定義域として扱われます。この「領域」の概念は、多変数複素関数の研究においては、複素n次元空間 ℂⁿ 内の任意の連結開部分集合へと自然に拡張されて用いられています。

用語の歴史的背景

連結な開集合を「領域」と呼ぶようになった経緯には、数学史上のいくつかの流れが見られます。数学者ハンス・ハーンは、1921年の著作で、連結な開集合を「領域」と見なす概念が体系的に導入されたのは、コンスタンチン・カラテオドリが1918年に発表した影響力の大きい著作『実関数講義』においてであると述べています。しかしハーンは同時に、「Gebiet」というドイツ語の語（これも「領域」と訳されます）が、それ以前から時として単に開集合の同義語として用いられていたことも指摘しています。

さらに、「domain」という語は、時として連結開集合（region）とはわずかに異なる、関連性の深い概念を指すためにも用いられました。例えば、楕円型偏微分方程式の分野で権威とされるカルロ・ミランダは、1955年のモノグラフにおいて、師マウロ・ピコーネに倣い、連結開集合を「region」と呼び、それに対し「内部連結 (internally connected)」な閉集合である「完全集合」を「domain」と呼んで厳密に使い分けています。この規約に従えば、ある集合がregionであれば、その閉包はその意味でのdomainとなります。このように、領域を指す用語は、時代や研究者によって異なるニュアンスで用いられることもあったことがわかります。

関連する概念と分野

解析学において領域と密接に関連する概念には、前述のリプシッツ領域のほか、カチョッポリ集合やハルトークス領域などがあります。領域は、偏微分方程式論、関数解析、幾何学など、解析学の様々な分野において、研究の基本的な舞台として登場します。

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