ZFCから独立な命題の一覧

ZFC集合論における決定不能命題の一覧

本稿では、ZFC（Zermelo-Fraenkel集合論と選択公理）に関連して、決定不能であることが証明された命題を取り上げます。これらの命題は、ZFCの公理体系のもとでは、証明も反証もできない特性を持っています。以下に、主な命題のリストとその概要を示します。

公理的集合論の命題

ZFCの無矛盾性

1931年、ゲーテルはZFCの無矛盾性を証明することができないことを示しました。この結果は、ZFCの論理的枠組み内で、ある命題が真であるか偽であるかを判断することが不可能であることを示したものです。特に、ZFCの無矛盾性そのものがZFCの枠組み内で決定不能であることが強調されました。

連続体仮説 (CH)

1940年、ゲーテルはCHが成り立つモデルを構成し、ZFC内でCHを反証できないことを示しました。その後、1963年にコーエンが強制法を用いてCHが成り立たないモデルを示しました。これにより、CHもまたZFC内で証明できないことが明らかになりました。

一般連続体仮説 (GCH)

この仮説は連続体仮説の一般化であり、ZFC内での真偽は不明であるとされています。

逐次積分可能だが積分順序交換できない2変数の有界関数

このような関数の存在もまた、ZFC内で決定不能であるとされています。

構成可能公理 (V = L)

この公理の真偽もZFC内で解決できないことが知られています。

ダイヤモンド原理 (◊)

この原理もZFCの枠組み内で決定不能です。

マーティンの公理 (MA)

MAと連続体仮説の否定が共に成り立つモデルが存在することも示されています。

巨大基数公理

一般に、巨大基数と呼ばれる特別な種類の基数の存在は、ZFC内での判断ができません。具体的には、次のような基数が含まれます。

• - 到達不能基数
• - マーロ基数
• - 可測基数
• - 超コンパクト基数

その他の分野の命題

ボレル予想

任意の強零集合は可算であるという予想。

ℵ1-稠密な実数の部分集合

実数の部分集合がℵ1-稠密であるかどうかは、ZFCの枠組み内で証明されていません。

ススリン線の存在 (SH)

この存在証明はダイヤモンド原理から従うことが知られていますが、CHを仮定しても存在を示すことはできません。

クレパ木の存在 (KH)

到達不能基数の無矛盾性を前提として、クレパ木の存在が語られます。

フビニの定理の拡張

この分野のいくつかの命題は、ZFCの外で証明されているものも含まれます。

群論におけるホワイトヘッドの問題

任意のアーベル群に関する問題で、Ext1(A, Z) = 0ならばAは自由アーベル群であるとされます。

バナッハ環に関するカプランスキー予想

コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数の環に関する予想です。

このように、ZFC集合論における決定不能命題は、数学の基礎を探求する上で非常に重要な役割を果たしています。これらの命題は、数学の限界を知ることができる貴重な指標となっています。

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