十分統計量

十分統計量について

十分統計量とは、特定の条件下において確率分布が母数に依存しない統計量のことを指します。この概念は、ロナルド・フィッシャーによって導入され、統計学の推定理論において非常に重要な役割を果たしています。

定義

統計量 T(X) がある確率変数 X の値に基づいて母数 θ に対して十分であるとは、以下の条件が成り立つことを意味します。条件付き確率分布 Pr(X = x | T(X) = t, θ) が母数 θ に依存せず、以下のように表現できる場合です。

$$
Pr(X = x | T(X) = t, θ) = Pr(X = x | T(X) = t)
$$

つまり、T(X) が既知であれば、データ X の条件付き確率分布が母数 θ に依存しないことを示します。これは、T(X) がデータから得られる情報を最大限に含んでいることを示唆します。これにより、統計的推定において重要な情報を提供し、より良いモデルの構築に寄与します。

フィッシャーの因子分解定理

十分統計量を特定する基準には、フィッシャーの因子分解定理があります。この定理は、確率密度関数 f(x; θ) が以下のように因子化できる場合、T(X) は母数 θ に対して十分であることを示します。

$$
f(x; θ) = h(x) g(T(x); θ)$$

ここで、h(x) は θ に依存せず、g(T(x); θ) は T(x) に依存します。この場合、T(X) の値を変更しても、θ に対する推定に影響を与えないことが示されます。つまり、十分な情報を持っていると言えます。

例

ベルヌーイ分布

確率変数 X1, X2, ..., Xn がベルヌーイ分布に従い、成功の確率を p とします。この場合、和 $$T(X) = X_1 + X_2 + ... + X_n$$ は p に対する十分統計量となります。これは、同時確率分布を考慮することで確認できます。

一様分布

一様分布に従う独立な確率変数 X1, ..., Xn において、T(X) = max(X1, ..., Xn) もまた、十分統計量です。これは、最大値を通じてのみ母数 θ と関連する情報を保持しているため、条件付き確率分布の因子分解の条件を満たします。

ポアソン分布

ポアソン分布に従う独立な確率変数 X1, ..., Xn の場合、和 $$T(X) = X_1 + ... + X_n$$ は λ に対する十分統計量となります。この特性も、同様に因子分解に基づいて検証できます。

ラオ・ブラックウェルの定理

十分統計量 T(X) が与えられた場合、その条件付き期待値も母数 θ に依存しないという重要なラオ・ブラックウェルの定理が存在します。この定理により、十分統計量を用いることで、他の推定量よりも良い結果が得られ学問的に重要視されています。

これにより、実践的には、第一の推定量から条件付き期待値を求めることで、最適な推定量を得ることが可能になります。

まとめ

十分統計量は統計学的推定において、データがもたらす情報を最大限に活用するための鍵となる概念です。適切に選定された十分統計量は、信頼性の高い推定や、より良い統計解析の実施に大いに寄与することでしょう。

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