アフィン接続

アフィン接続

アフィン接続は、数学の一分野である微分幾何学における基本的な概念です。これは、滑らかな多様体上で接ベクトル場を微分することを可能にする幾何学的な構造を指します。ユークリッド空間では、異なる点での接ベクトル空間は自然に同一視できるため、ベクトル場の微分は比較的容易です。しかし、一般の多様体上では、このような自然な同一視が存在しないため、近くの点での接空間を比較し、ベクトル場を微分するためには、何らかの追加構造が必要となります。アフィン接続は、この問題を解決し、多様体上の微分計算や幾何学的解析を可能にします。局所的にはユークリッド空間のアフィン構造を模倣する役割を果たします。

歴史的背景

アフィン接続のアイデアは、19世紀の曲面論とテンソル解析に端を発します。クリストッフェルによる共変微分の基礎、リッチとレヴィ・チヴィタによる絶対微分学の発展が重要な貢献です。20世紀初頭には、一般相対論の登場がこの分野の研究を加速させ、ヘルマン・ワイルとエリ・カルタンによって理論が体系化されました。カルタンが「アフィン接続」と命名し、その名称はユークリッド空間における接空間の平行移動による同一視に由来します。

定義と捉え方

アフィン接続はいくつかの同値な方法で定義できます。最も一般的なのは、共変微分として定義する方法です。これは、多様体上のベクトル場Xに沿った別のベクトル場Yの微分$
abla_X Y$を定める写像$
abla$であり、特定の線型性とライプニッツ則を満たします。この共変微分により、多様体上のベクトル場を微分できるようになります。

アフィン接続はまた、平行移動の概念を通して定義することも可能です。これは、曲線に沿って接ベクトルを「方向を保ったまま」移動させる操作です。これにより、曲線上の異なる点での接空間間に線型同型が定まります。この平行移動の考え方は、多様体の標構バンドル上の接続としても記述できます。

主要な性質

アフィン接続の幾何学的な性質は、捩率と曲率という二つの重要な不変量によって特徴づけられます。

捩率: 接続がどの程度「ねじれている」かを示す量で、ベクトル場の共変微分とリーブラケットとの差として定義されます。捩率がゼロの接続は「対称」と呼ばれます。
曲率: 平行移動が経路に依存するかどうかを示す量です。曲率がゼロの場合、多様体は局所的にアフィン空間のように平坦になります。

関連する概念

多様体がリーマン計量を持つ場合、計量と両立し、捩率がゼロであるようなレヴィ・チヴィタ接続というアフィン接続が一意に存在します。これはリーマン幾何学の中心概念です。

アフィン接続は、多様体上の測地線を定義します。測地線とは、接ベクトルが曲線に沿って平行移動するような曲線であり、ユークリッド空間の直線を多様体上へ一般化したものです。

意義と応用

アフィン接続は、多様体上の微分幾何学において不可欠な概念です。リーマン幾何学における曲率や測地線の研究、一般相対論における時空構造の記述など、数学や物理学の広範な分野で基礎的な役割を果たしています。共変微分や平行移動といった視点から理解されるアフィン接続は、多様体の局所的な幾何構造を解析するための強力なツールです。

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