アルティンのL-函数

アルティンの L-函数とは

アルティンの L-函数は、代数体の有限次拡大に関連した重要な数学的対象であり、特にガロア群の線型表現に結びつけられています。この関数は、1923年にエミール・アルティンによって導入されました。彼の研究は代数体の類体論に基づいており、特にアルティン予想という重要な未解決問題に関連しています。この予想は非可換類体論の場において解決される可能性があると考えられています。

定義

具体的には、代数体 K の有限次ガロア拡大 L とそのガロア群 G を考えます。このとき、有限次元複素ベクトル空間 V 上の G の表現 ρ に基づき、アルティンの L-函数は次のオイラー積によって定義されます。K の整数環における素イデアル p が L で不分岐である場合、フロベニウス共役類 Frobp が定義され、ρ(Frobp) の成分の固有多項式は、この共役類に対して well-defined です。そのため、

$$ \operatorname{det} \left[I - t \rho(\mathbf{Frob}(\mathfrak{P}))\right]^{-1} $$

は選んだフロベニウス共役類にかかわらず定まっており、t を複素数として t = N(p)^(-s) としたとき、p におけるオイラー因子が得られます（ここで N(p) は p に対する剰余体の要素数を指します）。分岐がある場合には、惰性群 I によって固定される V の部分空間に対する同様の構成が分岐素点 p に対するオイラー因子を導きます。これらすべてのオイラー因子からなるアルティンの L-函数は次のように表されます。

$$ L(\rho, s) = \prod_{p} E_p $$

ここに E_p はその素イデアルに対するオイラー因子です。アルティンの相互法則によると、G がアーベル群であるとき、これらの L-函数は別の形で記述される（K が有理数体のときはディリクレのL-函数として、一般にはヘッケのL-函数として知られる）。非アーベル群 G に対する場合、アルティン L-函数は新たな研究の対象となります。

函数等式

アルティンの L-函数は、別の重要な性質として、次のような函数等式を満たします。

$$ L(\rho, s) = L(\rho^, 1-s) $$

ここで ρ は ρ の共役表現を意味します。この函数等式は、アルティンの根の数 W(ρ) を考慮に入れた形で、次の関係に再表現できます。

$$ \Lambda(\rho, s) = W(\rho) \Lambda(\rho^, 1-s) $$

この結果は、特にラングランズとドリーニュによる局所定数に関する研究と関連しています。また、ρ と ρ が同値である場合、この等式は特別な簡素な形式になります。

アルティン予想

アルティン予想は、非自明な既約表現 ρ に対し、アルティンの L-函数 L(ρ,s) が全複素平面上で解析的であるとする予想です。これは、特に 1 次元の場合やヘッケ指標に関連する特殊な場合に成り立ちます。アンドレ・ヴェイユはこの予想の特殊な場合を証明し、他の研究者たちも多次元のケースにおいてさまざまな進展を示してきました。

特に、ガロア群が超可解群であれば、すべての表現に対してこの予想が成り立つことが示されています。様々な研究が進行中で、特に非可解な八面体の場合の結果も次第に明らかになっています。アルティンの L-函数はヘッケの L-函数と結びつけられ、多くの場合、カスプ表現の L-函数とひも付けられることが指摘されています。

参考文献および関連項目

• - 同変 L-函数（Equivariant L-function）
• - アルティンの L-函数に関する文献としては、エミール・アルティンの研究論文や、最新の数論に関する文献が多数あります。今後もこの分野の進展が期待されています。

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