キーペルト円錐曲線

キーペルト円錐曲線 (Kiepert Conic)

幾何学において、キーペルト円錐曲線とは、任意の三角形に対して定義される二つの特別な円錐曲線、すなわちキーペルト双曲線とキーペルト放物線をまとめて指す名称です。

これらの円錐曲線は、三角形とその性質を探求する上で重要な役割を果たします。

幾何学的構成

三角形 $\triangle ABC$ が与えられたとき、その各辺 $BC, CA, AB$ を一辺とするような三つの二等辺三角形 $\triangle A'BC, \triangle B'CA, \triangle C'AB$ を、それぞれ元の三角形の外側または内側に、すべて同じ向きかつ互いに相似になるように作図することを考えます。ここで、向きとは例えば、元の三角形の頂点 $A$ から辺 $BC$ を見たときに、新しい頂点 $A'$ が $BC$ に対して同じ側（例えば外側）にある、といった一致を指します。

このとき、元の三角形 $\triangle ABC$ と新しくできた三角形 $\triangle A'B'C'$ は「配景的 (perspectively)」であると言われます。これは、対応する頂点同士 $A$ と $A'$, $B$ と $B'$, $C$ と $C'$ を結ぶ三つの直線 $AA', BB', CC'$ が必ず一点で交わるという性質を意味します。この交点は「配景の中心 (center of perspectivity)」と呼ばれます。

キーペルト双曲線は、相似な二等辺三角形の形状（例えば、底角の大きさで特徴づけられます）を連続的に変化させたときに、この配景の中心が描く軌跡として定義されます。

一方、二つの配景的な三角形には「配景の軸 (axis of perspectivity)」と呼ばれる直線も存在します。これは、対応する辺同士の交点 $BC \cap B'C'$, $CA \cap C'A'$, $AB \cap A'B'$ が常に同一の直線上に並ぶという性質を持つ直線です。

キーペルト放物線は、この相似な二等辺三角形の形状を変化させたときに、この配景の軸がなす包絡線として定義されます。

別の定義

キーペルト双曲線は、もとの三角形の三つの頂点 $A, B, C$ と、その重心、そして垂心という、三角形の基本的な中心点を必ず通る唯一の円錐曲線（正確には、これら5点を通る無限遠直線を含まない円錐曲線）としても特徴づけられます。

キーペルト放物線は、その準線が元の三角形のオイラー線であり、その焦点が特別な三角形の中心点の一つであるX(110)である放物線としても定義されます。

R. H. EddyとR. Fritscは、キーペルト円錐曲線について、三角形の幾何学を学ぶ上で「最適な解決策」の一つであると評価しています。

キーペルト双曲線 (Kiepert Hyperbola)

キーペルト双曲線は、1869年にドイツの数学者ルードヴィヒ・キーペルトによって初めて詳細に研究されました。これは、1868年にエーミル・ルモワーヌが提示した、三角形の各辺に正三角形を外接させた場合にできる新しい三角形に関する問題を解決する過程で見出されたものです。

三角形の辺の長さを $a, b, c$ とし、重心座標を $x:y:z$ とすると、キーペルト双曲線は次の代数方程式で表すことができます。

$\frac{b^2-c^2}{x} + \frac{c^2-a^2}{y} + \frac{a^2-b^2}{z} = 0$

キーペルト双曲線の中心は、三角形の中心点の一つであるX(115)として知られています。この中心の重心座標は $(b^2-c^2)^2:(c^2-a^2)^2:(a^2-b^2)^2$ で与えられます。

この双曲線の漸近線は、ブロカール軸と呼ばれる直線のシムソン線と一致します。キーペルト双曲線は常に直角双曲線であり、その離心率は $\sqrt{2}$ です。

その他の性質として、その中心X(115)が九点円上に位置すること、また、第一フェルマー点と第二フェルマー点のちょうど中点にあたることが知られています。さらに、ブロカール軸上の任意の点の等角共役の軌跡として定義することも可能です。正三角形でない三角形 $\triangle ABC$ において、点 $P$ の三線極線がオイラー線と垂直になるような点 $P$ の軌跡もキーペルト双曲線となります。

キーペルト放物線 (Kiepert Parabola)

キーペルト放物線は、1888年にドイツの数学教師アウグスト・アルツトによって詳細な研究が発表されました。

三角形の辺の長さを $a, b, c$ とし、重心座標を $x:y:z$ とすると、キーペルト放物線は以下の代数方程式で表すことができます。

$f^2x^2 + g^2y^2 + h^2z^2 - 2fgxy - 2ghyz - 2hfzx = 0$

ここで、係数 $f, g, h$ はそれぞれ $f = \frac{b^2-c^2}{a}, g = \frac{c^2-a^2}{b}, h = \frac{a^2-b^2}{c}$ で与えられます。

キーペルト放物線の焦点は、三角形の中心点の一つであるX(110)です。この点の重心座標は $\frac{a^2}{b^2-c^2}:\frac{b^2}{c^2-a^2}:\frac{c^2}{a^2-b^2}$ で表されます。

焦点X(110)は、パリー円や外接円といった三角形に関連する重要な円周上に位置します。また、オイラー線上の任意の点 $P$ を辺 $BC, CA, AB$ それぞれで鏡映した点 $A', B', C'$ を考えたとき、これらの点から元の頂点を含むように作られる外接円 $\triangle A'BC, \triangle AB'C, \triangle ABC'$ は全て点X(110)で交わるという興味深い性質があります。

キーペルト放物線の準線は、三角形のオイラー線に一致します。さらに、この放物線はルモワーヌ軸や無限遠線に接するという性質も持ちます。放物線が三角形の各辺と接する点（接点）は、シュタイナー点のチェバ三角形の頂点と一致することが知られています。

また、外接三角形のフォイエルバッハ点はX(110)であり、これはシュタムラー双曲線の中心でもあることが関連する性質として挙げられます。

これらの円錐曲線は、三角形の幾何学における様々な興味深い点や直線、円との関係を示すものであり、古典的な幾何学研究の豊かな一端を垣間見せてくれます。

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