ケルビン・ストークスの定理とは？意味をやさしく解説

ケルビン・ストークスの定理：詳細解説と証明

ケルビン・ストークスの定理は、3次元ベクトル場の曲面上での面積分と、その境界線に沿った線積分を結びつける重要な定理です。ベクトル解析における基本定理の一つであり、グリーンの定理（平面版）の自然な拡張と捉えることができます。様々な物理現象の記述に利用され、特に流体力学や電磁気学において重要な役割を果たします。

定理の概要

まず、定理を簡潔に述べます。滑らかな曲面Sとその境界線Cにおいて、ベクトル場Fに対して以下の等式が成立します。

∫_C F ⋅ dr = ∫∫_S (∇ × F) ⋅ dS

ここで、

∫_C F ⋅ dr は、曲線Cに沿ったベクトル場Fの線積分です。
∫∫_S (∇ × F) ⋅ dS は、曲面S上でのベクトル場Fの[回転]の面積分です。
∇ × F は、ベクトル場Fの回転を表すベクトルです。
dr と dS は、それぞれ線要素と面要素です。

この定理は、ベクトル場の回転を、その境界での線積分で表現できることを示しています。つまり、曲面上の回転の総量は、境界線に沿った積分として計算できるのです。

定理の証明

ケルビン・ストークスの定理の証明は、いくつかの段階に分けて行われます。ここでは、グリーンの定理を用いた証明の概略を紹介します。

1. パラメータ表示: 曲面Sと境界線Cをパラメータ表示します。
2. 線積分の変形: 線積分をパラメータを用いて書き換えます。
3. 面積分の変形: 面積分をパラメータを用いて書き換えます。
4. グリーンの定理の適用: パラメータ表示された線積分と面積分に、グリーンの定理を適用します。
5. 等式の証明: グリーンの定理の結果を用いて、ケルビン・ストークスの定理の等式が成立することを示します。

この証明過程では、微分積分学の基本定理、特に多変数関数の微分と積分の関係が重要な役割を果たします。厳密な証明には、ベクトル解析の知識と、微分幾何学の基礎的な概念が必要となります。

保存力場への適用

保存力場（ポテンシャルを持つベクトル場）の場合、回転はゼロになります(∇ × F = 0)。この場合、ケルビン・ストークスの定理から、閉曲線Cに沿った線積分もゼロになります。これは、保存力場における経路独立性を示す重要な結果です。

単連結空間

単連結空間とは、簡単に言うと、穴のない空間のことです。単連結空間では、任意の閉曲線を連続的に一点に縮小することができます。この性質は、ケルビン・ストークスの定理と深く関連しており、単連結空間では、ベクトル場の回転がゼロであれば、そのベクトル場は保存力場であることが保証されます。

まとめ

ケルビン・ストークスの定理は、ベクトル解析における重要な定理であり、様々な分野で応用されています。本記事では、定理の概要と証明の概略、保存力場への適用、単連結空間における性質について解説しました。より詳細な理解のためには、ベクトル解析に関する専門書を参照することをお勧めします。

参考文献

(ここに参考文献をリストアップ)

ケルビン・ストークスの定理