ポアンカレの補題
ポアンカレの補題は、数学の特に微分幾何学や代数的位相幾何学の分野における重要な定理です。この補題は、多様体上の微分形式に関する性質を扱います。簡潔に述べると、ユークリッド空間のような「穴のない」単純な形をした空間では、ある特殊な条件を満たす微分形式（閉形式と呼ばれます）が、必ず別の微分形式を微分して得られる形（完全形式と呼ばれます）で表されることを保証します。この定理は、ベクトル解析におけるスカラーポテンシャルやベクトルポテンシャルの存在条件を、より一般的な微分形式の言葉で記述し直したものと考えることもできます。
多様体上には「微分形式」と呼ばれる数学的な対象があります。これは積分などを一般的に扱うために導入される概念です。微分形式には「次数」があり、0次微分形式は関数、1次微分形式は線積分などで現れる形、2次微分形式は面積分などで現れる形などと対応します。
微分形式には「外微分」（記号 `d` で表されます）という操作が定義されています。これは関数の勾配（grad）、ベクトル場の回転（rot）、発散（div）といったベクトル解析の操作を一般化したものです。外微分 `d` は、k次微分形式を (k+1)次微分形式に変換します。
ここで、特に重要な2つの概念があります。
閉形式 (closed form)：k次微分形式 $\omega$ に対して、その外微分がゼロ、つまり $d\omega = 0$ となる $\omega$ を閉形式と呼びます。
完全形式 (exact form)：k次微分形式 $\omega$ に対して、ある (k-1)次微分形式 $\eta$ が存在して、$\omega = d\eta$ と書けるとき、$\omega$ を完全形式と呼びます。この $\eta$ はしばしば $\omega$ の「ポテンシャル」と呼ばれます。
外微分には $d \circ d = 0$ という基本的な性質があります。これは、任意の微分形式 $\eta$ に対して $d(d\eta) = 0$ となることを意味します。この性質から、完全形式は常に閉形式であることがわかります。つまり、$d\eta$ という形で書けるものは、必ずその外微分がゼロになるのです。
しかし、その逆は常に成り立つとは限りません。つまり、外微分がゼロになる閉形式が、必ずしも別の微分形式の外微分として書ける（完全形式である）とは限らないのです。これが成り立つかどうかは、考えている空間（多様体）の幾何学的な性質に依存します。
ポアンカレの補題は、この「閉形式ならば完全形式である」という性質が、特定の種類の空間で成り立つことを述べています。
補題の主張は次の通りです。
より一般的には、ユークリッド空間のように「穴がなく」「縮めることができる」といった位相的な性質を持つ「可縮な多様体」であれば、同様にこの性質が成り立ちます。
具体的に述べると、k > 0 である任意の k次微分形式 $\omega$ が $d\omega = 0$ を満たすならば、ある (k-1)次微分形式 $\eta$ が存在して、$\omega = d\eta$ となる、ということです。
ポアンカレの補題は、「ド・ラーム・コホモロジー」という概念を使って、より抽象的かつ簡潔に表現することができます。
ド・ラーム・コホモロジー群 $H^k(M)$ は、多様体 M 上のk次閉形式全体の空間（$Z^k(M)$）を、k次完全形式全体の空間（$B^k(M)$）で割った商空間 $Z^k(M) / B^k(M)$ として定義されます。これは、閉形式のうち、完全形式ではないものがどのくらいあるか、あるいは閉形式と完全形式の「差」がどのくらいあるかを示す指標と考えることができます。
ポアンカレの補題をこの言葉で述べると、ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ について、そのド・ラーム・コホモロジー群は次のように trivial になる、ということになります。
$$
H^k(\mathbb{R}^n) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathbb{R} & (k=0) \\ 0 & (k>0) \end{array} \right.
$$
ここで $k=0$ の場合（$H^0(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}$）は、微分がゼロになる0次微分形式（つまり関数 f で df = 0 となるもの）は、定数関数に限られるという、微積分学における基本的な事実に対応しています。
そして、$k>0$ の場合（$H^k(\mathbb{R}^n) = 0$）は、$Z^k(\mathbb{R}^n) / B^k(\mathbb{R}^n)$ がゼロベクトル空間となることを意味します。これは、$Z^k(\mathbb{R}^n)$ と $B^k(\mathbb{R}^n)$ が一致する、つまり「閉形式全体」と「完全形式全体」が等しいことを意味します。これこそが、ポアンカレの補題「ユークリッド空間上の閉形式は完全形式である」に他なりません。
この補題は、より一般に、ユークリッド空間以外にも、どんな点でも連続的に一点に縮めることができるような空間（可縮空間）についても成り立ちます。
ポアンカレの補題が成り立つ例と成り立たない例を見てみましょう。
成り立つ例（ユークリッド空間）:
2次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^2$ 上の1次微分形式 $\omega_1 = xy^2\,dx + x^2y\,dy$ を考えます。この外微分 $d\omega_1$ を計算すると、$d\omega_1 = (2xy\,dy \wedge dx) + (2xy\,dx \wedge dy) = -2xy\,dx \wedge dy + 2xy\,dx \wedge dy = 0$ となり、$\omega_1$ は閉形式です。
$\mathbb{R}^2$ はユークリッド空間なので、ポアンカレの補題より $\omega_1$ は完全形式であるはずです。実際、0次微分形式 $\eta_1 = \frac{1}{2}x^2y^2$ を考えると、その外微分は $d\eta_1 = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}x^2y^2)\,dx + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{1}{2}x^2y^2)\,dy = xy^2\,dx + x^2y\,dy = \omega_1$ となり、確かに $\omega_1 = d\eta_1$ が成り立ちます。
成り立たない例（穴のある空間）:
2次元空間から原点を除いた領域 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ で定義される1次微分形式 $\omega_2 = \frac{-y}{x^2+y^2}\,dx + \frac{x}{x^2+y^2}\,dy$ を考えます。この外微分 $d\omega_2$ を計算すると、複雑な計算の末に $d\omega_2 = 0$ となり、$\omega_2$ は閉形式です。
しかし、考えている領域 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ は原点に「穴」が開いており、可縮な空間ではありません。このため、ポアンカレの補題はこの領域には直接適用できません。実際、この $\omega_2$ は完全形式ではありません。もし完全形式なら、$\omega_2 = d\eta$ となる関数 $\eta$ が $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 全体で存在するはずですが、そのような関数は存在しません。局所的には角度を表す関数 $\arctan(y/x)$ の微分として書けますが、この関数は $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 全体で一価連続には定義できない（例えば、原点を一周すると値が $2\pi$ 変化してしまう）ため、微分形式の意味でのポテンシャルとはなりません。この例は、ポアンカレの補題における「空間の形」という条件の重要性を示しています。
ポアンカレの補題は、ベクトル解析におけるいくつかの基本的な定理をより一般化したものと見なせます。
スカラーポテンシャルの存在定理:
3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}$ について、その回転 $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ がゼロである（$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \mathbf{0}$）ならば、あるスカラー関数 $\psi$ が存在して $\mathbf{F} = \operatorname{grad}\psi$ と書ける、という定理があります。
ここで、ベクトル場 $\mathbf{F}=(F_1, F_2, F_3)$ を1次微分形式 $\omega = F_1\,dx + F_2\,dy + F_3\,dz$ と見なし、スカラー関数 $\psi$ を0次微分形式 $\eta$ と見なすと、$\operatorname{grad}\psi$ は $\psi$ の外微分 $d\psi$ に対応します。また、$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \mathbf{0}$ という条件は、1次微分形式 $\omega$ の外微分 $d\omega$ がゼロになる（つまり $\omega$ が閉形式である）という条件に対応します。したがって、この定理は「$\mathbb{R}^3$ 上の1次閉形式 $\omega$ は、0次微分形式 $\eta$ の外微分として書ける（完全形式である）」という、ポアンカレの補題における k=1 の場合に他なりません。これは、$\mathbb{R}^3$ が可縮であることの結果です。
ベクトルポテンシャルの存在定理:
同様に、3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\mathbf{G}$ について、その発散 $\operatorname{div}\mathbf{G}$ がゼロである（$\operatorname{div}\mathbf{G} = 0$）ならば、あるベクトル場 $\mathbf{A}$ が存在して $\mathbf{G} = \operatorname{rot}\mathbf{A}$ と書ける、という定理があります。
ベクトル場 $\mathbf{G}=(G_1, G_2, G_3)$ を2次微分形式 $\omega = G_1\,dy \wedge dz + G_2\,dz \wedge dx + G_3\,dx \wedge dy$ と見なし、ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_1, A_2, A_3)$ を1次微分形式 $\eta = A_1\,dx + A_2\,dy + A_3\,dz$ と見なすと、$\operatorname{rot}\mathbf{A}$ は1次微分形式 $\eta$ の外微分 $d\eta$（これを2次微分形式として見る）に対応します。また、$\operatorname{div}\mathbf{G} = 0$ という条件は、2次微分形式 $\omega$ の外微分 $d\omega$ がゼロになる（つまり $\omega$ が閉形式である）という条件に対応します。したがって、この定理は「$\mathbb{R}^3$ 上の2次閉形式 $\omega$ は、1次微分形式 $\eta$ の外微分として書ける（完全形式である）」という、ポアンカレの補題における k=2 の場合に他なりません。これも、$\mathbb{R}^3$ が可縮であることの結果です。
ポアンカレの補題は、ユークリッド空間のような位相的に単純な空間において、閉形式と完全形式という微分形式の重要な性質が一致することを保証する基本的な結果です。この定理は、微分幾何学、位相幾何学、さらには物理学における電磁気学や流体力学など、ポテンシャルの概念が現れる様々な分野に応用されています。ド・ラーム・コホモロジー論の中心的な結果の一つでもあり、空間の形状と微分形式の性質を結びつける深い洞察を与えてくれます。
微分形式、閉形式、完全形式
多様体上には「微分形式」と呼ばれる数学的な対象があります。これは積分などを一般的に扱うために導入される概念です。微分形式には「次数」があり、0次微分形式は関数、1次微分形式は線積分などで現れる形、2次微分形式は面積分などで現れる形などと対応します。
微分形式には「外微分」（記号 `d` で表されます）という操作が定義されています。これは関数の勾配（grad）、ベクトル場の回転（rot）、発散（div）といったベクトル解析の操作を一般化したものです。外微分 `d` は、k次微分形式を (k+1)次微分形式に変換します。
ここで、特に重要な2つの概念があります。
閉形式 (closed form)：k次微分形式 $\omega$ に対して、その外微分がゼロ、つまり $d\omega = 0$ となる $\omega$ を閉形式と呼びます。
完全形式 (exact form)：k次微分形式 $\omega$ に対して、ある (k-1)次微分形式 $\eta$ が存在して、$\omega = d\eta$ と書けるとき、$\omega$ を完全形式と呼びます。この $\eta$ はしばしば $\omega$ の「ポテンシャル」と呼ばれます。
外微分には $d \circ d = 0$ という基本的な性質があります。これは、任意の微分形式 $\eta$ に対して $d(d\eta) = 0$ となることを意味します。この性質から、完全形式は常に閉形式であることがわかります。つまり、$d\eta$ という形で書けるものは、必ずその外微分がゼロになるのです。
しかし、その逆は常に成り立つとは限りません。つまり、外微分がゼロになる閉形式が、必ずしも別の微分形式の外微分として書ける（完全形式である）とは限らないのです。これが成り立つかどうかは、考えている空間（多様体）の幾何学的な性質に依存します。
ポアンカレの補題の主張
ポアンカレの補題は、この「閉形式ならば完全形式である」という性質が、特定の種類の空間で成り立つことを述べています。
補題の主張は次の通りです。
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ 上の任意の閉形式は、必ず完全形式である。
より一般的には、ユークリッド空間のように「穴がなく」「縮めることができる」といった位相的な性質を持つ「可縮な多様体」であれば、同様にこの性質が成り立ちます。
具体的に述べると、k > 0 である任意の k次微分形式 $\omega$ が $d\omega = 0$ を満たすならば、ある (k-1)次微分形式 $\eta$ が存在して、$\omega = d\eta$ となる、ということです。
ド・ラーム・コホモロジーによる表現
ポアンカレの補題は、「ド・ラーム・コホモロジー」という概念を使って、より抽象的かつ簡潔に表現することができます。
ド・ラーム・コホモロジー群 $H^k(M)$ は、多様体 M 上のk次閉形式全体の空間（$Z^k(M)$）を、k次完全形式全体の空間（$B^k(M)$）で割った商空間 $Z^k(M) / B^k(M)$ として定義されます。これは、閉形式のうち、完全形式ではないものがどのくらいあるか、あるいは閉形式と完全形式の「差」がどのくらいあるかを示す指標と考えることができます。
ポアンカレの補題をこの言葉で述べると、ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ について、そのド・ラーム・コホモロジー群は次のように trivial になる、ということになります。
$$
H^k(\mathbb{R}^n) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathbb{R} & (k=0) \\ 0 & (k>0) \end{array} \right.
$$
ここで $k=0$ の場合（$H^0(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}$）は、微分がゼロになる0次微分形式（つまり関数 f で df = 0 となるもの）は、定数関数に限られるという、微積分学における基本的な事実に対応しています。
そして、$k>0$ の場合（$H^k(\mathbb{R}^n) = 0$）は、$Z^k(\mathbb{R}^n) / B^k(\mathbb{R}^n)$ がゼロベクトル空間となることを意味します。これは、$Z^k(\mathbb{R}^n)$ と $B^k(\mathbb{R}^n)$ が一致する、つまり「閉形式全体」と「完全形式全体」が等しいことを意味します。これこそが、ポアンカレの補題「ユークリッド空間上の閉形式は完全形式である」に他なりません。
この補題は、より一般に、ユークリッド空間以外にも、どんな点でも連続的に一点に縮めることができるような空間（可縮空間）についても成り立ちます。
具体例
ポアンカレの補題が成り立つ例と成り立たない例を見てみましょう。
成り立つ例（ユークリッド空間）:
2次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^2$ 上の1次微分形式 $\omega_1 = xy^2\,dx + x^2y\,dy$ を考えます。この外微分 $d\omega_1$ を計算すると、$d\omega_1 = (2xy\,dy \wedge dx) + (2xy\,dx \wedge dy) = -2xy\,dx \wedge dy + 2xy\,dx \wedge dy = 0$ となり、$\omega_1$ は閉形式です。
$\mathbb{R}^2$ はユークリッド空間なので、ポアンカレの補題より $\omega_1$ は完全形式であるはずです。実際、0次微分形式 $\eta_1 = \frac{1}{2}x^2y^2$ を考えると、その外微分は $d\eta_1 = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}x^2y^2)\,dx + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{1}{2}x^2y^2)\,dy = xy^2\,dx + x^2y\,dy = \omega_1$ となり、確かに $\omega_1 = d\eta_1$ が成り立ちます。
成り立たない例（穴のある空間）:
2次元空間から原点を除いた領域 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ で定義される1次微分形式 $\omega_2 = \frac{-y}{x^2+y^2}\,dx + \frac{x}{x^2+y^2}\,dy$ を考えます。この外微分 $d\omega_2$ を計算すると、複雑な計算の末に $d\omega_2 = 0$ となり、$\omega_2$ は閉形式です。
しかし、考えている領域 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ は原点に「穴」が開いており、可縮な空間ではありません。このため、ポアンカレの補題はこの領域には直接適用できません。実際、この $\omega_2$ は完全形式ではありません。もし完全形式なら、$\omega_2 = d\eta$ となる関数 $\eta$ が $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 全体で存在するはずですが、そのような関数は存在しません。局所的には角度を表す関数 $\arctan(y/x)$ の微分として書けますが、この関数は $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 全体で一価連続には定義できない（例えば、原点を一周すると値が $2\pi$ 変化してしまう）ため、微分形式の意味でのポテンシャルとはなりません。この例は、ポアンカレの補題における「空間の形」という条件の重要性を示しています。
ベクトル解析との関係
ポアンカレの補題は、ベクトル解析におけるいくつかの基本的な定理をより一般化したものと見なせます。
スカラーポテンシャルの存在定理:
3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}$ について、その回転 $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ がゼロである（$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \mathbf{0}$）ならば、あるスカラー関数 $\psi$ が存在して $\mathbf{F} = \operatorname{grad}\psi$ と書ける、という定理があります。
ここで、ベクトル場 $\mathbf{F}=(F_1, F_2, F_3)$ を1次微分形式 $\omega = F_1\,dx + F_2\,dy + F_3\,dz$ と見なし、スカラー関数 $\psi$ を0次微分形式 $\eta$ と見なすと、$\operatorname{grad}\psi$ は $\psi$ の外微分 $d\psi$ に対応します。また、$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \mathbf{0}$ という条件は、1次微分形式 $\omega$ の外微分 $d\omega$ がゼロになる（つまり $\omega$ が閉形式である）という条件に対応します。したがって、この定理は「$\mathbb{R}^3$ 上の1次閉形式 $\omega$ は、0次微分形式 $\eta$ の外微分として書ける（完全形式である）」という、ポアンカレの補題における k=1 の場合に他なりません。これは、$\mathbb{R}^3$ が可縮であることの結果です。
ベクトルポテンシャルの存在定理:
同様に、3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\mathbf{G}$ について、その発散 $\operatorname{div}\mathbf{G}$ がゼロである（$\operatorname{div}\mathbf{G} = 0$）ならば、あるベクトル場 $\mathbf{A}$ が存在して $\mathbf{G} = \operatorname{rot}\mathbf{A}$ と書ける、という定理があります。
ベクトル場 $\mathbf{G}=(G_1, G_2, G_3)$ を2次微分形式 $\omega = G_1\,dy \wedge dz + G_2\,dz \wedge dx + G_3\,dx \wedge dy$ と見なし、ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_1, A_2, A_3)$ を1次微分形式 $\eta = A_1\,dx + A_2\,dy + A_3\,dz$ と見なすと、$\operatorname{rot}\mathbf{A}$ は1次微分形式 $\eta$ の外微分 $d\eta$（これを2次微分形式として見る）に対応します。また、$\operatorname{div}\mathbf{G} = 0$ という条件は、2次微分形式 $\omega$ の外微分 $d\omega$ がゼロになる（つまり $\omega$ が閉形式である）という条件に対応します。したがって、この定理は「$\mathbb{R}^3$ 上の2次閉形式 $\omega$ は、1次微分形式 $\eta$ の外微分として書ける（完全形式である）」という、ポアンカレの補題における k=2 の場合に他なりません。これも、$\mathbb{R}^3$ が可縮であることの結果です。
まとめ
ポアンカレの補題は、ユークリッド空間のような位相的に単純な空間において、閉形式と完全形式という微分形式の重要な性質が一致することを保証する基本的な結果です。この定理は、微分幾何学、位相幾何学、さらには物理学における電磁気学や流体力学など、ポテンシャルの概念が現れる様々な分野に応用されています。ド・ラーム・コホモロジー論の中心的な結果の一つでもあり、空間の形状と微分形式の性質を結びつける深い洞察を与えてくれます。
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