シュピーカー円

シュピーカー円（Spieker circle）

幾何学において、シュピーカー円は、もとの三角形の辺の中点同士を結んで作られる「中点三角形」の内接円として定義される特別な円です。この円は、19世紀ドイツの著名な幾何学者であるテオドール・シュピーカー（Theodor Spieker）に敬意を表して、彼の名が冠されています。

シュピーカー円の中心は「シュピーカー点」と呼ばれます。この点は、元の三角形の「辺に対する重心」という性質を持ちます。また、シュピーカー点は、三角形の各辺の中点を通り、かつその三角形の周長を二等分する3本の直線（中分線）の交点としても定義されます。

歴史的背景

シュピーカー円とシュピーカー点の名称は、ポツダム大学の数学教授であったテオドール・シュピーカー（1838-1907）に由来します。彼は1862年に平面幾何学に関する重要な著作『Lehrbuch der ebenen Geometrie mit Übungsaufgaben für höhere Lehranstalten』（高等教育機関向けの平面幾何学教科書と演習問題）を出版しました。この書籍は、当時の科学者や数学者たち、とりわけアルベルト・アインシュタインを含む後世の研究者にも大きな影響を与えたと言われています。

作図方法

シュピーカー円を作図するには、その定義に従い、まずもとの三角形の「中点三角形」を得る必要があります。

1. 対象となる三角形の各辺の中点を見つけます。
2. 見つけた中点同士を直線で結び、新しい三角形（中点三角形）を作成します。
3. この中点三角形の内接円を作図します。内接円の中心は、中点三角形の内角の二等分線の交点として求められます。

このようにして描かれた円が、元の三角形のシュピーカー円となります。

関連する点と線

シュピーカー円は、三角形に関連する他の重要な点や線と深い関係があります。

特に、ナーゲル点（Nagel point）との関連がよく知られています。ナーゲル点と内心（Incenter）は、常にシュピーカー円の内部に存在します。さらに、シュピーカー円の中心であるシュピーカー点、ナーゲル点、そして内心の3点は常に同一直線上に並びます。この特別な直線は「ナーゲル線（Nagel line）」と呼ばれています。興味深いことに、もとの三角形の重心（Centroid）、つまり3本の中線の交点もまた、このナーゲル線上に位置します。

九点円との比較

シュピーカー円は、もう一つの有名な幾何学的な円である「九点円（Nine-point circle）」と類似点を持つことが、幾何学者ジュリアン・クーリッジ（Julian Coolidge）によって指摘されています。彼は自身の著作の中でシュピーカー円を「P circle」と表現しました。

九点円とオイラー線（Euler line）の関係は、シュピーカー円とナーゲル線の関係と、双対ではないものの共通点が多く見られます。顕著な例として、九点円が中点三角形に「外接」するのに対し、シュピーカー円は中点三角形に「内接」するという対照的な性質が挙げられます。

また、もとの三角形の頂点からナーゲル点へ引いた直線と、同じく頂点から垂心（Orthocenter）へ引いた直線も、それぞれ九点円と元の三角形の辺との交点、およびシュピーカー円と中点三角形の辺との接点を通るという共通点が見られます。

シュピーカー円錐曲線

九点円が「九点円錐曲線」へと一般化されるように、シュピーカー円もまた「シュピーカー円錐曲線（Spieker conic）」としてより一般的な概念に拡張されます。

三角形△ABCの中点三角形を△A'B'C'とし、その辺の中点をそれぞれA₂, B₂, C₂とします。さらに、任意の点Nを考えます。点NとA, B, Cを結ぶ直線AN, BN, CNが、それぞれ中点三角形の対辺B'C', C'A', A'B'と交わる点をP, Q, Rとします。

ここで、線分A'Nの中点とA₂を結ぶ線分の中点、B'Nの中点とB₂を結ぶ線分の中点、C'Nの中点とC₂を結ぶ線分の中点を考えます。驚くべきことに、これら3つの中点は常に一致します。この一致する点をSとします。

点P, Q, R、およびそれらを点Sに関して鏡映した点の合計6点を通る円錐曲線が存在し、この円錐曲線は中点三角形△A'B'C'に接します。この円錐曲線がシュピーカー円錐曲線です。その中心は定義した点Sとなります。さらに、点N、点S、およびもとの三角形の重心Gは常に同一直線上にあり、線分NSとGSの長さの比はNS:GS = 3:1となります。

特に、点Nがナーゲル点である場合、シュピーカー円錐曲線はシュピーカー円となります。この事実は、2006年にVilliersによって証明されました。

シュピーカー根円

シュピーカー点に関連するもう一つの円として、「シュピーカー根円（Spieker radical circle）」があります。これは、中点三角形の3つの傍心（Excenters of the medial triangle）から等しい距離にある点の軌跡、すなわちこれらの傍心に対する根心を中心とし、根軸に対して垂直な線群の性質に関連する円です。具体的には、中点三角形の3つの傍心の根円の中心はシュピーカー点となります。また、もとの基準三角形の3つの傍心（Excenters of the reference triangle）の根円の中心も同様にシュピーカー点となります。

参考文献

シュピーカー円とその関連概念については、幾何学の専門的な文献で詳細に論じられています。例えば、Roger A. Johnsonの『Modern Geometry』やClark Kimberlingの『Triangle centers and central triangles』などが挙げられます。また、動的幾何学ソフトウェアのスケッチなども、その性質を視覚的に理解するのに役立ちます。

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