等長共役

幾何学における等長共役（とうちょうきょうやく、英語: isotomic conjugate）とは、ある三角形△ABCと、その辺上に位置しない任意の点Pとの間に存在する、特別な対応関係によって定義される点のことを指します。この概念は、等距離共役、等線分共役、あるいは等截共役とも称されます。

定義

三角形ABCとその辺上にない点Pを考えます。まず、点Pと三角形の各頂点A, B, Cを結ぶ直線AP, BP, CPを引きます。これらの直線が、それぞれ対辺BC, CA, ABと交わる点を、順にA', B', C'とします。

次に、これらの交点A', B', C'を、それぞれ対応する辺BC, CA, ABの中点に関して鏡映（対称移動）させた点を考えます。これらの鏡映点をA'', B'', C''と定めます。

このとき、頂点Aと点A''を結ぶ直線AA''、頂点Bと点B''を結ぶ直線BB''、および頂点Cと点C''を結ぶ直線CC''は、等長共役線（isotomic lines）と呼ばれます。これらの3本の直線は、チェバの定理によって一点で交わることが保証されています。この交点が、点Pの等長共役点、または等截点と呼ばれます。

点Pとその等長共役点との間の対応関係そのものを、等長共役と呼びます。

座標による表現

点Pの座標を用いて、その等長共役点の座標を表すことができます。

三線座標：点Pの三線座標を `p:q:r` とすると、Pの等長共役点の三線座標は、三角形の辺の長さ `a, b, c` を用いて、`a⁻²p⁻¹ : b⁻²q⁻¹ : c⁻²r⁻¹` という比で与えられます。これは、各辺の長さの二乗の逆数と、元の点の三線座標の逆数との積の比に相当します。

重心座標：点Pの重心座標を `p:q:r` とすると、Pの等長共役点の重心座標は、非常にシンプルな `p⁻¹:q⁻¹:r⁻¹` という比で与えられます。これは、元の点の重心座標の各成分の逆数の比に等しくなります。

性質

等長共役点は、三角形の中心などの特定の点において興味深い性質を示します。

三角形の重心の等長共役点は、重心自身です。
類似重心（シンメディアン点）の等長共役点は、第三ブロカール点となります。
ジェルゴンヌ点の等長共役点は、ナーゲル点です。
三角形のシュタイナー楕円（重心を中心とし、3辺に接する内接楕円）上の点の等長共役点は、無限遠直線上に位置します。
ある点と、その等角共役点および等長共役点が同一直線上にあるような点の軌跡は、シュタイナー-ウォレス双曲線（ウォレス双曲線とも）と呼ばれます。この双曲線は、キーペルト双曲線を重心を中心として-2倍に拡大した図形と一致し、その中心はシュタイナー点です。また、この双曲線は三角形の重心、内心、および傍心を通ります。

関連項目

等角共役
三角形の中心
等長写像

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