テンソルの縮約

テンソルの縮約について

テンソルの縮約（縮約）は、多重線型代数学における中心的な概念であり、特にベクトル空間とその双対空間との間における内積に由来しています。この操作は、複数のテンソルに対して適用され、和の取られたスカラー成分として表現されます。特に、混合テンソルにおいては、上付きと下付きの添字が同一の文字である場合、これらの添字に基づいて和を取ります。

縮約の基本概念

テンソルの縮約は、一般に以下のように表されます。まず、有限次元のベクトル空間 V とその双対 V の自然な内積 {{⟨f, v⟩ = f(v)}} に基づいて、テンソルの演算が定義されます。この自然な内積は、テンソル積から得られる線型写像 C： V ⊗ V → k として理解され、これによって (1, 1)-型テンソルにおける縮約演算が確立されます。

さらに、一般的な (m, n)-型テンソルは、m 個の V と n 個の V* によって構成されており、各々の部分テンソルに対し内積を適用することによって縮約が可能になります。この操作によって新しく得られるテンソルは、元のテンソルの階数が減少します。

抽象添字と基礎的な縮約

抽象添字記法を用いると、基本的な縮約は明瞭に定義されます。たとえば、ベクトルとその双対ベクトルの縮約は、添字の和を利用して簡略化されます。具体的には、

$$ ilde{f}( ext{v}) = f_{eta} v^{eta}$$

と表現され、これは特定の基底に属する成分の和として解釈できます。一般の混合二項テンソルは、これを基に追加の操作を加えて、結果を簡潔に表し直すことができます。

計量テンソルと縮約

計量テンソルを用いることで、通常は縮約ができない場合でも、内積を考慮することで縮約が可能になります。この操作は「計量縮約」と呼ばれ、内積を基にして添字の上げ下げを行ってから通常の縮約に進む形で実施されます。

テンソル場に対する縮約の適用

縮約は、ユークリッド空間やリーマン多様体上で定義されたテンソル場にも適用されます。これにより、任意の点に対してテンソル場の縮約を行うことができ、スカラー場が生成されます。特にリーマン多様体においては、計量を考慮した縮約が重要となります。

テンソルの発散とその関係

さらに、テンソル場における縮約の応用として、ベクトル場の共変微分が挙げられます。共変微分は、特定の座標系において周囲の変化を示し、縮約を通じて発散を定義することが可能です。この発散が連続性の方程式に結びつくため、物理のさまざまな場面における応用が期待されます。

まとめ

このように、テンソルの縮約は、多重線型代数学や物理学など幅広い分野で活用されています。内積を用いた縮約、テンソル場への適用、発散の定義など、多岐にわたる概念が関連しており、数学理論の核心を成す重要な操作です。

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