フォイエルバッハ双曲線

幾何学の分野、特に三角形の研究において、フォイエルバッハ双曲線は非常に特徴的な直角双曲線として知られています。この曲線は、三角形の幾何学における多くの重要な点、例えば三角形そのものの頂点、辺に下ろした垂線の交点である垂心、角の二等分線の交点である内心といった基本的な点に加え、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ミッテンプンクト、シフラー点といった、より専門的な点をも通過するという性質を持ちます。

この双曲線の中心は、三角形の内接円と九点円という二つの重要な円が互いに接する唯一の点であるフォイエルバッハ点に位置するという、非常に興味深い特徴があります。

方程式

フォイエルバッハ双曲線は、三角形の各辺からの距離の比で表される三線座標 (α : β : γ) を用いることで、代数的に表現することができます。三角形の内角の大きさをそれぞれ A, B, C とすると、この双曲線の方程式は以下の形で与えられます。


\frac{\cos B - \cos C}{\alpha} + \frac{\cos C - \cos A}{\beta} + \frac{\cos A - \cos B}{\gamma} = 0


この方程式は、特定の点がフォイエルバッハ双曲線上にあるかどうかを判定するための基礎となります。

性質

フォイエルバッハ双曲線は様々な幾何学的性質を示します。その中でも特筆すべきものをいくつか挙げます。

内心を通る接線: フォイエルバッハ双曲線が内心 I を通る点における接線は、三角形の外心 O と内心 I を結ぶ直線であるOI 線と一致します。
シュタムラー双曲線: 与えられた三角形の内接円の接点を頂点とする「接線三角形」に対してフォイエルバッハ双曲線を定義すると、これは特にシュタムラー双曲線と呼ばれます。シュタムラー双曲線の中心は、別の有名な曲線であるキーペルト放物線の焦点に位置します。シュタムラー双曲線は、内心、傍心、外心、類似重心など、多くの特徴的な点を通ることが知られています。
極三角形の極円: フォイエルバッハ双曲線上の任意の点に対して定義される極三角形（その点における接線の極線が作る三角形）の極円は、元の三角形の九点円とフォイエルバッハ点で接するという性質があります。これは、三角形に外接する直角双曲線全般が持つ一般的な性質（極三角形の極円がその双曲線の中心で九点円と接する）の特殊な場合です。
OI線の等角共役: フォイエルバッハ双曲線は、外心 O と内心 I を結ぶ直線である OI 線上の点の、三角形に関する等角共役点の軌跡としても定義されます。等角共役変換において、内心は自身に、垂心は外心に、ナーゲル点は特定の配景中心に、ジェルゴンヌ点は特定の相似点に移り、これらの対応する点の軌跡が双曲線を描きます。
* 垂足円: フォイエルバッハ双曲線上の任意の点から三角形の各辺に下ろした垂線の足は同一円周上にあり、この円（垂足円と呼ばれる）は必ずフォイエルバッハ点を通ります。これはグリフィスの定理や第二フォントネーの定理の重要な帰結の一つです。

刈屋の定理

フォイエルバッハ双曲線に関連する有名な定理に、日本の数学者刈屋他人次郎が発見した刈屋の定理があります。この定理は以下のように述べられます。三角形 ABC において、内接円が辺 BC, CA, AB と接する点をそれぞれ A1, B1, C1 とします。内接円の中心を I とするとき、線分 IA1, IB1, IC1 上にそれぞれ点 X, Y, Z を、長さ IX = IY = IZ となるように取ると、直線 AX, BY, CZ は必ず一点で交わります。この交点は刈屋点と呼ばれ、この刈屋点は常にフォイエルバッハ双曲線上にあることが証明されています。

刈屋の定理は、Auguste Boutin や V. Retali らによる証明に先行して、刈屋自身によって発表されたという歴史的経緯を持ちます。現代の幾何学では、この定理はフォイエルバッハ双曲線の重要な性質を示すものとして、あるいはその一般化された形式として捉えられています。また、キーペルト双曲線に関するルモワーヌの問題と同様に、刈屋の定理もヤコビの定理というより一般的な結果から導かれる系の一つであることが知られており、これらの定理を通じてフォイエルバッハ双曲線が三角形の幾何学における他の深遠な結果と結びついていることが示されます。

このように、フォイエルバッハ双曲線は、単なる曲線としてだけでなく、三角形の様々な中心点や円、線、さらには歴史的な定理とも密接に関わる、豊かな性質を持つ幾何学的対象です。

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