ベクタン点

ベクタン点（英: Vecten points）は、ユークリッド幾何学における三角形の中心として知られる特異点です。この点は、与えられた三角形の各辺を一辺として外側または内側に描いた正方形。これらの正方形の中心どうしを結んでできる新たな三角形と、元の三角形との配景の中心として定義されます。

その名称は、19世紀フランスの数学者ベクタンが1817年にこの点を研究したことにちなみます。彼は当時ジェルゴンヌと共にニームで数学を教えていました。

外ベクタン点

△ABC に対して、その各辺 BC, CA, AB の外側に正方形を描き、それぞれの中心をそれぞれ Oa, Ob, Oc とします。元の三角形の頂点 A, B, C とこれらの中心 Oa, Ob, Oc を結んだ直線 AOa, BOb, COc は一点で交わります。この交点が外ベクタン点（Outer Vecten point または First Vecten point）です。

外ベクタン点の三線座標は、三角形の内角 A, B, C を用いて以下のように表されます。

$$ \sec\left(A - \frac{\pi}{4}\right) : \sec\left(B - \frac{\pi}{4}\right) : \sec\left(C - \frac{\pi}{4}\right) $$

クラーク・キンバリング氏の「三角形の中心事典（Encyclopedia of Triangle Centers）」では、X(485)としてリストアップされています。文脈によっては、単に「ベクタン点」という場合にこの外ベクタン点を指すことがあります。

外ベクタン三角形

外側の正方形の中心を結んでできる三角形 △OaObOc を、外ベクタン三角形（Outer Vecten Triangle）と呼びます。この外ベクタン三角形の重心は、元の △ABC の重心と一致するという興味深い性質を持ちます。さらに、外ベクタン三角形の垂心は、他ならぬ外ベクタン点自身になります。

内ベクタン点

△ABC に対して、その各辺 BC, CA, AB の内側に正方形を描き、それぞれの中心をそれぞれ Ia, Ib, Ic とします。元の三角形の頂点 A, B, C とこれらの中心 Ia, Ib, Ic を結んだ直線 AIa, BIb, CIc は一点で交わります。この交点が内ベクタン点（Inner Vecten point または Second Vecten point）です。

内ベクタン点の三線座標は、以下のように与えられます。

$$ \sec\left(A + \frac{\pi}{4}\right) : \sec\left(B + \frac{\pi}{4}\right) : \sec\left(C + \frac{\pi}{4}\right) $$

クラーク・キンバリング氏の事典では、X(486)として登録されています。

内ベクタン三角形

内側の正方形の中心を結んでできる三角形 △IaIbIc を、内ベクタン三角形（Inner Vecten Triangle）と呼びます。外ベクタン三角形と同様に、内ベクタン三角形の重心も元の △ABC の重心と一致します。そして、内ベクタン三角形の垂心は内ベクタン点自身です。