ホプキンス・レヴィツキの定理

秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理

秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理は、環論という抽象代数学の分野における重要な結果の一つです。この定理は、半準素環上の加群における降鎖条件と昇鎖条件の関係を示しています。

半準素環とは

半準素環とは、特定の条件を満たす環 R のことを指します。ここで、R は単位元を持ち、R/J(R) が半単純であり、J(R) が冪零イデアルである必要があります。J(R) はこの環のジャコブソン根基であり、この特性が半準素環としての定義に重要な役割を果たします。

定理の内容

秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理によると、環 R が半準素環であり、M が右 R-加群である場合、次の三つの条件が同値であることが示されています：

1. M はネーター的である。
2. M はアルティン的である。
3. M は組成列を持つ。

この定理の大きな意義は、半準素環でない場合に、M が組成列を持てば M がネーターかつアルティンであるといったことが確認される点です。

歴史的背景

この定理に関する最初の結果は、Charles Hopkins と Jacob Levitzki がそれぞれの論文の中で発表したもので、現在我々が知っている形に発展しました。特に、秋月康夫もこの定理に貢献しており、そのためこの定理はしばしば「ホプキンス・レヴィツキの定理」と呼ばれますが、彼の名も含むことがあります。このような背景は、1939年に発表された彼の研究から来ています。

直接の系とその意義

また、右アルティン環が半準素であることが知られているため、この定理の直接の成果として右アルティン環が右ネーター環でもあることが導かれます。同様のことが左アルティン環にも当てはまり、左アルティン環であれば左ネーター環に同じく言える条件が成り立つことも確認されています。ただし、アルティン加群に関しては、ネーター的でない例が存在するため、一般には成り立ちません。

証明の概要

証明の要点として、次のことが挙げられます。もし R が半準素環で M が左 R-加群であれば、M がアルティン的またはネーター的であるなら、M は組成列を持つことが示されます。この証明では、R のジャコブソン根基を J として、各 Fi = Ji−1M/JiM を定義します。この過程で、Fi は半単純 R/J-加群として扱われることになります。そして、J が冪零イデアルであるため、Fi のうちのゼロでないものは有限個しかないことにより、最終的に M の組成列が取得されます。

グロタンディーク圏における拡張

この定理には様々な一般化や拡張も存在します。その中の一つが、グロタンディーク圏に関するもので、もし G がアルティン的生成子を持つグロタンディーク圏であれば、G の全てのアルティン的対象はネーター的であることが示されています。

関連項目

この定理に関連する概念としては、アルティン加群、ネーター加群、組成列などがあります。これらの概念は、環論や加群の理論の理解を深める上で極めて重要なものです。

参考文献

本定理に関する深い理解を得るために、以下の文献を参照することをお勧めします。

• - Cohn, P.M. (2003). Basic Algebra: Groups, Rings and Fields.
• - Hopkins, C. (1939). "Rings with minimal condition for left ideals".
• - Lam, T.Y. (2001). A First Course in Noncommutative Rings.
• - Levitzki, J. (1939). "On rings which satisfy the minimum condition for the right-hand ideals".

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