レヴィ分布

レヴィ分布 (Lévy distribution)

レヴィ分布は、統計学や確率論の分野で用いられる連続確率分布の一つです。特に、ゼロ以上の値をとる確率変数の振る舞いを記述する際に利用されます。この分布は、フランスの数学者ポール・レヴィ（Paul Lévy）の名を冠しており、彼の研究業績に敬意を表して命名されました。

レヴィ分布の重要な特徴の一つは、それが「安定分布（Stable distribution）」と呼ばれる分布族に属していることです。安定分布とは、独立な同一分布に従う確率変数の和が、元の分布と同じ種類の分布に従う（位置と尺度のパラメータを除いて）性質を持つ分布のことです。正規分布やコーシー分布もこの安定分布族に属していますが、レヴィ分布は、安定分布の中でも確率密度関数が比較的簡単な数式（解析的な形式）で表現できる数少ない例です。他の解析的に表現可能な安定分布としては、前述の正規分布やコーシー分布が挙げられます。

レヴィ分布の性質をより詳しく理解するためには、その数学的な定義を見る必要があります。まず、確率密度関数（Probability Density Function, PDF）は、確率変数が特定の値をとる「相対的な」確率を示すもので、レヴィ分布の場合は位置母数μと尺度母数cを用いて、確率変数xがμ以上の値をとる場合に次のように定義されます。

$$ f(x; \mu, c) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x-\mu)^{3/2}} \quad \text{for } x \ge \mu $$

ここで、μは分布の位置を決定するパラメータであり、分布全体を横方向にシフトさせる役割を持ちます。cは分布の広がりや尺度を決定するパラメータです。μが0の場合、分布の台（サポート、確率密度がゼロでない区間）は$[0, \infty)$となります。

次に、累積分布関数（Cumulative Distribution Function, CDF）は、確率変数が特定の値以下をとる確率を示すもので、レヴィ分布の場合は相補誤差関数を用いて次のように表されます。

$$ F(x; \mu, c) = \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right) $$

この関数は、xがμから無限大までの範囲で確率がどのように累積していくかを示します。

レヴィ分布の特性を理解する上で欠かせないのが特性関数（Characteristic Function）です。特性関数は、分布の性質を複素数の関数として表現したもので、特に安定分布のような特定の性質を持つ分布族の研究において強力なツールとなります。レヴィ分布の特性関数は次の形で与えられます。

$$ \varphi(t; \mu, c) = e^{i\mu t - \sqrt{-2ict}} $$

安定分布の一般形におけるパラメータ（安定指数αと歪度パラメータβ）で表現すると、レヴィ分布はα=1/2、β=1の場合に相当します。この形式では特性関数は次のようになります。

$$ \varphi(t; \mu, c) = e^{i\mu t - |ct|^{1/2} (1 - i \operatorname{sign}(t))} $$

さて、統計分布の重要な指標の一つに「モーメント」がありますが、レヴィ分布には特異な点があります。レヴィ分布は、平均や分散を含め、すべての次数のモーメントが存在しません。これは、モーメントを計算するための積分が収束しないためです。特に、確率密度関数の裾野が非常に厚いため、大きな値が現れる可能性が無視できず、期待値を計算する際に積分が発散してしまうのです。同様に、分布のモーメントを生成するモーメント母関数も定義されません。

この「裾野が厚い（Heavy Tail）」という特徴は、レヴィ分布の最も顕著な性質の一つです。正規分布のように裾野が指数関数的に減少する分布と異なり、レヴィ分布の確率密度関数は、確率変数xが非常に大きな値をとるにつれて、比較的緩やかに減少します。具体的には、大きなxに対する確率密度関数の振る舞いは冪乗則（Power Law）に従います。

$$ \lim_{x\to\infty} f(x; \mu, c) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \frac{1}{(x-\mu)^{3/2}} $$

（ただしμ=0の場合は $(x)^{3/2}$ となる）

この冪乗則的な減少は、極端な事象（大きな値）が発生する確率が、正規分布のような「薄い裾野」を持つ分布よりもはるかに高いことを意味します。このような性質から、レヴィ分布は、地震の規模、金融市場の価格変動、乱流における粒子の拡散など、極端な値がしばしば観測される現象のモデリングに示唆を与えることがあります（※ただし、応用例の詳細は入力に含まれていないため、示唆を与える可能性に言及するに留めます）。

まとめると、レヴィ分布は非負の連続確率分布であり、安定分布族の一員として解析的な確率密度関数を持つ珍しい例です。数学者ポール・レヴィに由来し、位置母数μと尺度母数cによって特徴づけられます。その最大の特徴は、平均や分散といったモーメントが存在しないこと、そして冪乗則に従う顕著なヘビーテールを持つことです。これらの性質から、様々な分野で理論的な関心を集めています。

関連項目として、レヴィ分布が属する安定分布について学ぶことが、その理解をさらに深める助けとなるでしょう。

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