三角形の内接円と傍接円

三角形の内接円と傍接円

初等幾何学において、三角形の辺に接する特別な円として、内接円と傍接円があります。これらの円はそれぞれ独特の性質を持ち、三角形の様々な要素と密接に関連しています。

内接円とその中心（内心）

内接円とは、三角形の内部に完全に収まり、その3つの辺全てに接する円のことです。この円は、三角形の内部に描ける円の中で最も大きな面積を持ちます。内接円の中心は内心と呼ばれます。内心は三角形の3つの内角の二等分線が交わる点として特徴づけられます。この性質から、内心は三角形のどの辺からも等しい距離に位置することがわかります。その距離が内接円の半径となります。

傍接円とその中心（傍心）

一方、傍接円は三角形の外部に位置する円です。1つの辺に接し、残りの2つの辺の延長線にも接します。どのような三角形にも、各辺に対応する3つの傍接円が存在します。それぞれの傍接円の中心は傍心と呼ばれます。ある辺に対する傍心は、その辺に対応する頂点の内角の二等分線と、他の2つの頂点の外角の二等分線が交わる点です。内心と傍心は、三角形の頂点や他の中心と様々な位置関係にあります。

面積と半径の関係

三角形の面積は、内接円や傍接円の半径と深く結びついています。三角形の面積を $S$、3辺の長さを $a, b, c$、そして半周長を $s = (a+b+c)/2$ とすると、面積 $S$ は有名なヘロンの公式で求められます。

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

内接円の半径 $r$ は、面積と半周長を用いて以下のように表されます。

$$r = \frac{S}{s}$$

また、各辺（例えば辺 $a$）に対応する傍接円の半径を $r_a$ とすると、

$$r_a = \frac{S}{s-a}$$

となります。同様に、辺 $b, c$ に対応する傍接円の半径 $r_b, r_c$ も求められます。これらの関係式から、三角形の面積は、内接円の半径と3つの傍接円の半径の積の平方根に等しいという興味深い性質が導かれます。

$$S = \sqrt{r \cdot r_a \cdot r_b \cdot r_c}$$

さらに、これらの半径の公式からは、傍接円は常に内接円よりも大きく、そして三角形の辺の中で最も長い辺に対応する傍接円が最も大きな半径を持つことがわかります。

重要な点と定理

内接円と傍接円は、三角形に関する他の多くの幾何学的な要素とも関連しています。

フォイエルバッハ点: 三角形の九点円は、内接円および3つの傍接円の計4つの円全てに接します。これらの接点はフォイエルバッハ点と呼ばれます。
ジェルゴンヌ点とジェルゴンヌ三角形: 内接円が三角形の各辺と接する点を結んでできる三角形をジェルゴンヌ三角形（または接触三角形）と呼びます。元の三角形の各頂点と、それに向かい合う辺上の内接円接点を結んだ3つの直線は、必ず1点で交わります。この交点がジェルゴンヌ点です。不等辺三角形におけるジェルゴンヌ線の存在にも関連します。
リュイリエの定理: 3つの傍接円の半径の逆数の和は、内接円の半径の逆数に等しいという美しい関係があります。
$$\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{r}$$
トリリウムの定理: 内心と3つの傍心をそれぞれ結んだ線分の中点は、全て三角形の外接円上に存在します。また、3つの傍心同士を結んだ線分の中点も、全て外接円上に位置します。

座標による表現

内心の座標は、三角形の3つの頂点の座標とそれぞれの対辺の長さを用いて、各頂点を辺の長さに比例した重みで平均することで得られます。

$$\left( \frac{ax_a + bx_b + cx_c}{a+b+c}, \frac{ay_a + by_b + cy_c}{a+b+c} \right)$$

また、三角形の内部の点の位置を示す三線座標を用いると、内心は $1:1:1$ と非常にシンプルな比で表されます。内接円や傍接円も、三線座標を用いると特定の二次曲線として記述できます。

内接円と傍接円の概念は、単なる円や点の性質に留まらず、三角形の面積、他の重要な点、そして様々な定理を通じて、三角形全体の構造を理解するための鍵となります。これらの概念は、平面幾何学だけでなく、高次元の図形への拡張も研究されています。

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