中心化群と正規化群

中心化群と正規化群の概要

数学の分野、特に群論において、群 G の部分集合 S に関連する重要な概念に「中心化群」と「正規化群」があります。これらの群は、群 G の元と部分集合 S の関係を探る上で非常に有用です。中心化群とは、S の元と可換な G の全ての元で構成される群であり、正規化群は、S と全体で可換な G の元から構成されます。これらの群は、G の部分群であり、その構造についての深い洞察を提供します。

定義

中心化群は次のように定義されます。

$$
C_G(S) = \{ g \in G \mid s g = g s \text{ for all } s \in S \}
$$

ここで、群 G が明らかな場合、表記 C_G(S) から G を省略することがあります。また、S が単一の元 {a} の場合、中心化群は C_G(a) と略記されることがあります。この中心化群の別の表記として Z(a) という表現も存在しますが、これは群の中心と混同しやすいため、注意が必要です。

一方、正規化群は以下のように定義されます。

$$
N_G(S) = \{ g \in G \mid gS = Sg \}
$$

この定義は中心化群に似ていますが異なります。g が中心化群の元であれば、S に含まれる元 s について gs = sg が成り立ちますが、正規化群の元 g の場合、少し異なります。つまり、元 s だけでなく、他の元 t ∈ S に対しても gs = tg という条件が成り立つからです。また、記法の中で G を省略したり、単一の元の時に中括弧を省くことも正規化群の記法に適用されます。正規化群を使って、S の正規包、すなわち S が生成する正規部分群と混同しないようにしなければなりません。

性質

以下に示す性質は、Isaacs (2009) の文献に基づいています。

1. 部分群の性質：中心化群と正規化群はともに G の部分群であることが明らかです。
2. 包含関係：C_G(S) は必ず N_G(S) の正規部分群です。
3. 中心化群の特性：C_G(C_G(S)) は S を含みますが、C_G(S) が S を含むとは限りません。ただし、S のすべての元 s, t が可換であれば、C_G(S) は S を含みます。
4. 正規化群の性質：S が G の部分半群であれば、N_G(S) は S を含みます。
5. 最大部分群の定義：H が G の部分群であれば、その正規部分群を含む最大の G の部分群が N_G(H) です。
6. 共役類と中心化群：元 a の共役類の大きさと中心化群の指数 [G : C_G(a)] は等しくなります。
7. 共役に関する性質：G の部分群 H とその共役な部分群の数が N_G(H) の指数 [G : N_G(H)] と等しいです。
8. 自己正規化部分群：G の部分群 H が N_G(H) = H であるとき、H は自己正規化部分群と呼ばれます。
9. 中心の定義：G の中心はちょうど C_G(G) です。つまり、G がアーベル群であれば C_G(G) = Z(G) = G となります。
10. 単集合に対する特性：単集合に対しては、C_G(a) = N_G(a) です。
11. 対称性：任意の二つの部分集合 S と T に対して、T ⊆ C_G(S) と S ⊆ C_G(T) の関係が成り立ちます。
12. N/C定理：N/C 定理により、剰余群 N_G(H)/C_G(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型です。特に、N_G(G) = G および C_G(G) = Z(G) から、N/C 定理は G/Z(G) が G の全ての内部自己同型からなる Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であることを示します。
13. 群準同型の定義：群準同型 T: G → Inn(G) を定義することができ、これにより N_G(S) と C_G(S) を Inn(G) における群作用を用いて記述できます。

参考文献

• - Isaacs, I. Martin. (2009). Algebra: A Graduate Course. American Mathematical Society.
• - Jacobson, Nathan. (2009). Basic Algebra, I. Dover.

関連項目

• - 交換子 (commutator)
• - 安定化部分群 (stabilizer subgroup)
• - 交換団 (commutant)

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