中心的単純環

中心的単純多元環について

数学の環論において、中心的単純多元環（CSA）は与えられた体 K 上の特定の構造を持つ結合多元環です。このような環は、有限次元のベクトル空間としての特性をもち、環として単純であり、その中心が正確に体 K に一致します。この特性により、中心的単純環は他の多元環の基本的な構成要素として広く研究されています。

環の定義と例

具体的には、体 K に対して中心的単純環 A が存在するとき、すべての単純多元環はその中心上での中心的単純環です。たとえば、複素数体 C はそれ自身の上での中心的単純環ですが、実数体 R 上では中心的単純環ではありません。一方で、四元数体 H は R 上の4次元の中心的単純環として考えられ、後に示すように R のブラウアー群に関連付けられます。

相似性とブラウアー群

同じ体 F 上に存在する二つの中心的単純環 A ≅ Mn(S) と B ≅ Mm(T) が相似であるためには、それぞれの斜体 S および T が同型である必要があります。この同値関係に基づいて、中心的単純環の同値類は多元環類と呼ばれ、それによってブラウアー群 Br(F) が形成されます。ブラウアー群は常にねじれ群という特性を持ちます。

特性と重要性

アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、任意の単純環 A は適切な斜体 S 上の行列環 M(n, S) に同型であることが保障されます。このため、各ブラウアー同値類には一意の多元体が付随します。中心的単純環の次元は必ず平方数で、その平方根は次数（degree）として表されます。
中心的単純環において重要な概念はシューア指数（Schur index）であり、これは他のブラウアー同値な多元体の次数を示します。また、中心的単純環の周期は、その属するブラウアー類の位数を指します。このように、これらの性質は中心的単純環の研究において重要です。

分解体に関する考察

中心的単純環 A に対して、分解体が存在するとき、A ⊗K E が行列環と同型となる場合にこの分解体が定義されます。任意の有限次元の中心的単純環は分解体を持つため、例えば、多元体の場合にはその極大可換部分体が分解体として機能します。この結果により、中心的単純環に基づくノルムやトレースが定義可能となります。

一般的な概念への展開

さらに、中心的単純環の概念は非可換数論における代数体の一般化とも考えられます。これは、体と同様に中心的単純環にも非自明な両側イデアルが存在しないことによって示されます。しかし、中心的単純環はゼロ元以外の元が必ずしも逆元を持つとは限らず、この点で体とは異なります。

関連項目と参考文献

このように、中心的単純多元環は数学のさまざまな分野にわたって深い重要性を持っていることがわかります。今後も、この概念に関連する理論や応用の研究が進展することが期待されます。詳細については、斎藤秀司の「整数論」やブルバキの「数学原論」などの文献を参照してください。

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