余等化子

余等化子（Coequalizer）

圏論における余等化子は、二つの平行な射によって形成される図式の余極限として定義される構成です。これは圏論的な概念である等化子の双対にあたり、特に集合論においてなじみ深い「同値関係による商集合」の概念を、より一般的な任意の圏の文脈へと拡張したものと捉えることができます。

定義

圏 $\mathcal{C}$ において、対象 $X, Y$ とその間の二つの平行な射 $f, g: X \to Y$ を考えます。このとき、$f$ と $g$ の余等化子とは、対象 $Q \in \mathcal{C}$ と射 $q: Y \to Q$ の組 $(Q, q)$ であって、以下の二つの条件を満たすものを指します。

1. $q \circ f = q \circ g$
2. 普遍性: 上記の条件 $q' \circ f = q' \circ g$ を満たす別の組 $(Q', q')$ が与えられたとき、射 $u: Q \to Q'$ が一意に存在して、以下の図式を可換にする。

mermaid
graph LR
Y q > Q
Y q' > Q'
Q > Q' u

f(X) --> Y
g(X) --> Y

subgraph " "
direction LR
f
g
end

f " " > Y
g " " > Y

style f fill:#fff,stroke:#fff
style g fill:#fff,stroke:#fff



（この図式では、$u \circ q = q'$ となるような $u$ が一意に存在することを示しています。）

普遍性によって、余等化子が存在すれば、それは同型を除いて一意に定まります。したがって、特定の平行射の組に対して、単に「余等化子」と呼ぶことが許されます。

また、圏論の一般的な性質として、余極限から導かれる射（この場合は $q$）は、任意の圏において全型射（エピ射）であることが証明できます。

例

具体的な圏における余等化子の例をいくつか挙げます。

集合の圏 (Set): 二つの写像 $f, g: X \to Y$ の余等化子は、関係 $f(x) \sim g(x)$ （全ての $x \in X$ について）によって生成される $Y$ 上の最小の同値関係 $\sim$ による商集合 $Y/\sim$ に他なりません。特に、集合 $Y$ 上の任意の同値関係 $R$ が与えられたとき、$R$ の要素を $Y \times Y$ の部分集合とみなし、その成分射影 $r_1, r_2: R \to Y$ を考えると、この二つの射の余等化子は商集合 $Y/R$ に一致します。

群の圏 (Grp): 二つの群準同型 $f, g: X \to Y$ の余等化子は、集合 $S = \{f(x)g(x)^{-1} \mid x \in X\}$ によって生成される $Y$ の正規部分群 $N$ による商群 $Y/N$ です。

アーベル群の圏 (Ab): アーベル群においては、射（群準同型）の間に引き算が定義できます。この場合、二つの射 $f, g: X \to Y$ の余等化子は、$f - g$ の像 $\mathrm{im}(f - g)$ による商群 $Y / \mathrm{im}(f - g)$ となります。これは $f-g$ の余核 $\mathrm{coker}(f-g)$ に等しい概念です。

位相空間の圏 (Top): 円周 $S^1$ は、標準的な0-単体から標準的な1-単体への二つの包含写像の余等化子として構成することができます。

余等化子射が必ずしも集合論的な全射とならない例もあります。例えば、対象が一つで自己準同型として自然数全体の加法モノイドを持つ圏は、特定の二つの函手（対象が二つの圏への）の余等化子として得られます。この例における余等化子射は圏論的な全型射ですが、台集合上の写像としては全射ではありません。

性質

前述したように、任意の圏において、余等化子の構成によって得られる射は必ず全型射 (エピ射)となります。さらに、トポスと呼ばれる特定の性質を持つ圏においては、任意のエピ射はその核対（Kernel Pair）の余等化子として表現されることが知られています。

特殊な場合

余核: 零射が存在する圏において、射 $f: X \to Y$ の余核 (Cokernel) は、$f$ と、対象 $X, Y$ 間の零射 $0_{X,Y}: X \to Y$ の余等化子として定義されます。すなわち、$\mathrm{coker}(f) = \mathrm{coeq}(f, 0_{X,Y})$ です。

前加法圏: 射の集合がアーベル群の構造を持つ前加法圏においては、射の差 $g-f$ が定義可能です。このとき、二つの射 $f, g$ の余等化子は、それらの差 $g-f$ の余核として得られます。

$\mathrm{coeq}(f, g) = \mathrm{coker}(g-f)$

絶対余等化子

余等化子の中でも、より強い性質を持つものとして絶対余等化子があります。これは、ある圏 $\mathcal{C}$ における対 $f, g: X \to Y$ の余等化子 $(Q, q)$ であって、さらに任意の函手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ に対して、$(F(Q), F(q))$ が圏 $\mathcal{D}$ における対 $F(f), F(g)$ の余等化子となる性質を持つものを指します。分裂余等化子（Split Coequalizer）は、絶対余等化子の一例です。

関連項目

等化子 (Equalizer) - 余等化子の双対概念。
余積) (Coproduct) - もう一つの重要な圏論的構成。
押出し) (Pushout) - より複雑な図式の余極限の一種で、余等化子の一般化とみなせる場合がある。

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参考文献: Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd Edition, 1998.

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