区分線形関数

区分的に一次な関数とは

区分的に一次な関数、または区分線形関数とは、複数の区分で構成され、各区分が線形の性質を持つ関数です。このタイプの関数は、さまざまな数学的な文脈で用いられ、数理的な計算やモデリングに役立ちます。

定義と性質

区分的に線形な関数は、定義域 0 Ω が例えば n 次元のユークリッド空間や、広義のベクトル空間、アフィン空間において定義されることが一般的です。また、PL多様体や単体的複体の上でも定義されることがあります。これらの場合、終域 V は実数全体やベクトル空間のほか、アフィン空間や他の多様体に用いることもできます。

ここでいう「線形」という言葉は、厳密には線形写像だけでなく、広い意味でのアフィン線形写像を指します。次元が2以上の場合、定義域 V の小片は多角形や多面体と仮定されることが多く、これにより関数のグラフが多角形や多面体の接続部分になることが保証されます。

このような関数の重要な部分には、区分的に線形な連続関数や、区分線形凸関数などが含まれます。特に、連続な区分的線形関数のグラフは折れ線で表現され、その形は幾何学的な視点からもわかりやすいです。なお、スプライン曲線はこの概念をさらに発展させ、より高次の多項式または可微分な関数を考慮した一般化の一形態です。

区分的に線形な関数の例

たとえば、区間 [x₁, x₂] 上の実数値関数 f が区分線形であるためには、その区間を有限個の小区間に分割し、各小区間 I の中で

f(x) = aI x + bI

が成り立つ必要があります。このとき、aI と bI はそれぞれの小区間における定数です。よく知られた例として、絶対値関数 f(x) = |x| や、矩形波関数、のこぎり波関数、床関数などが挙げられます。

具体的な例

具体的な区分線形関数として、次のような関数 f(x) を考えます。

f(x) = {
\begin{array}{ll}

• -3 - x & \text{if } x \leq -3 \

x + 3 & \text{if } -3 \leq x \leq 0 \
3 - 2x & \text{if } 0 \leq x \leq 3 \
0.5x - 4.5 & \text{if } 3 \leq x
\end{array}
}

この関数は4つの区分を持ち、各区分はそれぞれの範囲で線形の性質を示しています。この関数のグラフは、直線や半直線からなる線分で表現され、関数の性質を視覚的に理解しやすくします。たとえば、x = -3 以下の範囲では、グラフは下に向かって直線的に下降し、x が 0 になるとまた異なる直線に変わります。これにより、区分的に定義された性質の利用が可能になります。

関連項目

区分的に一次な関数に関してもっと深く学びたい場合は、不連続関数や、区分的に連続な曲線などのテーマも合わせて検討することをお勧めします。これにより、数学の広範な知識を深めることができます。

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