十一角形

十一角形：11本の辺と11個の頂点を持つ図形

十一角形は、幾何学において11本の辺と11個の頂点を持つ多角形です。多角形の種類は辺の数によって分類され、三角形、四角形、五角形などといったように、辺の数によって名前が変わります。十一角形はその名の通り、辺が11本ある多角形です。

その内角の和は1620°、対角線の本数は44本と計算できます。内角の和は、多角形の辺の数から2を引いて180°をかけた値で求められます。(n-2)×180°という公式で計算できます。対角線の本数は、頂点の数から2を引いた数の総和を頂点の数で割った値となります。n(n-3)/2という公式で計算できます。

正十一角形：美しい対称性

正十一角形は、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい特別な十一角形です。正十一角形の中心角と外角はどちらも32.72…°となり、内角は147.27…°となります。これらの角度は、360°を11で割った値から計算できます。

一辺の長さをaとすると、正十一角形の面積Sは下記の式で表されます。

S = (11/4)a²cot(π/11) ≒ 9.36564a²

ここで、cotは余接関数、πは円周率を表します。この式は、正十一角形を11個の合同な二等辺三角形に分割することで導き出されます。

また、cos(2π/11)の値は、冪根を用いて表現できますが、その具体的な表現は複雑なためここでは省略します。

作図の難しさ：コンパスと定規だけでは不可能

正十一角形は、コンパスと定規だけを用いた作図が不可能な図形として知られています。これは、正十一角形の内角が、コンパスと定規で作図できる角度（有理数倍のπの値）ではないためです。目盛り付き定規を用いても作図は不可能です。折り紙を用いた一般的な方法でも作図は困難です。

しかし、ネウシス作図と呼ばれる、定規を滑らせて点を定める作図法や、折り紙における高度な多重折り手法を用いることで、正十一角形の作図が可能です。

現実世界における応用例：硬貨のデザイン

正十一角形は、現実世界でも見つけることができます。例えば、2023年現在、カナダの1ドル硬貨（通称：ルーニー）は、そのデザインの中に正十一角形を取り入れています。アメリカ合衆国にも、かつて正十一角形をデザインに含む1ドル硬貨が存在しました（スーザン・B・アンソニー・ドル）。これらの硬貨のデザインは、正十一角形が持つ幾何学的な美しさや、その特殊性から採用されたと考えられます。

まとめ

十一角形、特に正十一角形は、その幾何学的性質、作図の困難さ、そして現実世界での応用例という点で、数学的に興味深い図形です。その特徴を理解することで、数学への理解を深めることができるでしょう。

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