半単純リー環のルート系

被約抽象ルート系と半単純リー環の関係

数学の分野において、被約抽象ルート系と半単純リー環は密接な関係を持っています。これらはそれぞれの対象に対応する方法を通じて互いに関連し、特にルート系の構成やその逆、つまり被約抽象ルート系から半単純リー環を構築する方法は重要な研究テーマとなっています。

付随するルート系

複素半単純リー環を $g$ とし、$h$ をそのカルタン部分環とします。このとき、$h$ は $g$ において随伴表現に基づく線型写像として機能し、同時対角化を可能にします。ここで、$h^$ の元 $ ext{λ}$ に対して、部分空間 $g_{ ext{λ}}$ は次のように定義されます。

$$egin{align}
g_{ ext{λ}} := ig\{ X
eq 0 ext{ } | ext{ } X ext{ を } g ext{ の元とし、全ての } H ext{ が } h ext{ に属する場合に、 } [H, X] = λ(H) X ig\\end{align}$$

ここで、$ ext{λ}$ が非ゼロの値を取るとき、$g_{ ext{λ}}$ は自明でないことを示し、これを $ ext{λ}$ のルート空間と呼びます。また、カルタン部分環の性質により $g_0 = h$ であることが保証されます。さらに、各ルート空間は次元が1であることが示されるため、すべてのルートの集合を $R$ とし、$g$ は以下の形式で記述されます。

$$g = h igoplus igoplus_{ ext{λ} ext{ ∈ } R} g_{ ext{λ}}$$

このように、カルタン部分環 $h$ は $g$ 上のキリング形式から内積を引き継ぎ、これによって $h^$ 上の内積を定義することができます。この内積に基づき、$R$ が被約抽象ルート系であることが確認されます。

付随する半単純リー環

ここで、ユークリッド空間を $E$ とし、$R$ をその被約抽象ルート系と定義します。さらに、$ ext{Δ}$ を単純ルートの特定の集まりとします。以下の生成元と関係式に基づいて、複素リー環を形成します。

生成元の例としては、$H_{ ext{λ}}, X_{ ext{λ}}, Y_{ ext{λ}}$ があり、これらは $ ext{λ} ext{ ∈ } ext{Δ}$ について定義されます。シュバレー・セール関係式は以下のように記述されます。

1. $$[H_{ ext{λ}}, H_{ ext{μ}}] = 0 ext{ } (全ての } λ, μ ext{ ∈ } Δ ext{)$$
2. $$[H_{ ext{λ}}, X_{ ext{μ}}] = ( ext{λ}, ext{μ}) X_{ ext{μ}}$$
3. $$[H_{ ext{λ}}, Y_{ ext{μ}}] = -( ext{λ}, ext{μ}) Y_{ ext{μ}}$$
4. $$[X_{ ext{μ}}, Y_{ ext{λ}}] = δ_{ ext{μλ}} H_{ ext{μ}}$$
5. $$ ext{ad}_{X_{ ext{λ}}}^{-( ext{μ}, ext{λ}) + 1} X_{ ext{μ}} = 0 ext{ } ( ext{λ} ≠ ext{μ})$$
6. $$ ext{ad}_{Y_{ ext{λ}}}^{-( ext{μ}, ext{λ}) + 1} Y_{ ext{μ}} = 0 ext{ } ( ext{λ} ≠ ext{μ})$$

この生成されるリー環が半単純であり、そのルート系が与えられた $R$ に同型であることが確認できます。

応用

これらの同型構造により、半単純リー環の分類作業は、より簡単な被約抽象ルート系の分類に帰着されます。これにより、数学的な問題を効率的に解決する手助けとなります。

脚注

本記事では、クリエイティブ・コモンズ・ライセンスの元で提供されている『PlanetMath』から得られた情報を基にしています。さらなる詳細については、以下の文献を参照してください。

• - Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer.
• - Varadarajan, V.S. (1984), Lie groups, Lie algebras, and their representations, GTM, Springer.

また、外部リンクとして、以下のリソースを確認してください：

• - “Coxeter group”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001.
• - Weisstein, Eric W. “Coxeter group”. mathworld.wolfram.com.
• - Jenn software, Cayley graphs of finite Coxeter groups: http://www.jenn3d.org/index.html.
• - Popov, V.L.; Fedenko, A.S. (2001), “Weyl group”, Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink.

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