半正規分布

半正規分布

半正規分布は確率論および統計学において、正規分布に密接に関連する確率密度分布の一つです。通常、確率変数 $X$ が正規分布 $N(0, σ^2)$ に従うとき、その絶対値である $Y = |X|$ は半正規分布に従うことが示されています。

基本的な性質

半正規分布の性質を理解するためには、元となる正規分布の標準偏差 $σ$ に注目します。この分布の確率密度関数（PDF）は次のように定義されます。

$$
f_{Y}(y; σ) = \frac{\sqrt{2}}{σ\sqrt{π}} e^{-\frac{y^2}{2σ^2}} \quad (y \geq 0)
$$

この分布の平均値は、次のように与えられます。

$$
E[Y] = μ = \frac{σ\sqrt{2}}{\sqrt{π}}
$$

さらに、$σ$ が 0 に近づく場合の現象を考慮して、パラメータ $θ = \frac{\sqrt{π}}{σ\sqrt{2}}$ を用いて記述することもあります。この場合の確率密度関数は次のように表されます。

$$
f_{Y}(y; θ) = \frac{2θ}{π} e^{-\frac{y^2 θ^2}{π}} \quad (y \geq 0)
$$

この式から、期待値は次のように示されます。

$$
E[Y] = μ = \frac{1}{θ}
$$

累積分布関数（CDF）

半正規分布の累積分布関数は以下のように定義されます。

$$
F_{Y}(y; σ) = \int_{0}^{y} \frac{1}{σ}\sqrt{\frac{2}{π}} e^{-\frac{x^2}{2σ^2}} dx
$$

変数変換 $z = \frac{x}{\sqrt{2}σ}$ を用いることでこのCDFは次のように変形できます。

$$
F_{Y}(y; σ) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\frac{y}{\sqrt{2}σ}} e^{-z^2} dz = \text{erf}\left(\frac{y}{\sqrt{2}σ}\right)
$$

ここで、$ ext{erf}$ は誤差関数を指します。また、CDFの逆関数は次のようになります。

$$
Q(F; σ) = σ\sqrt{2} ext{erf}^{-1}(F)
$$

この場合、$0 \leq F \leq 1$ です。

期待値と分散

半正規分布の期待値は次のように表されます。

$$
E[Y] = σ\sqrt{\frac{2}{π}}
$$

また、分散は以下のように示されます。

$$
\text{var}(Y) = σ^2\left(1 - \frac{2}{π}\right)
$$

このことから、半正規分布の分散は元の正規分布の分散 $σ^2$ に依存していることがわかります。

微分エントロピー

半正規分布の微分エントロピーは次のように定義されます。

$$
h(Y) = \frac{1}{2} \log_2\left(\frac{π e σ^2}{2}\right)
$$

これは、平均が0で0を中心にしたモーメントの整合性を持つ正規分布のエントロピーよりも1ビット小さいという特性を示しています。この特徴は、元の正規分布から絶対値を取ることで符号の情報が失われていることを反映しています。

応用

統計学において、半正規分布は特に分散をベイズ推定する際の事前分布として用いられます。具体的には、半正規分布から独立同分布に従うデータセットがあった場合、その未知のパラメータ $σ$ は最尤推定法を使って次のように求められます。

$$
\hat{σ} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}
$$

この推定量の偏りを考慮して、不偏推定量は以下のように定義されます。

$$
\hat{σ}_{\text{mle}}^{*} = \hat{σ}_{\text{mle}} - \hat{b}
$$

関連分布

半正規分布は切断正規分布の特別なケースと見なされます。また、半正規分布に従う変数 $Y$ を使った場合、$Y^2$ は自由度1のカイ二乗分布に従い、$Y^{-2}$ はレヴィ分布に従うことが知られています。さらに、レイリー分布は半正規分布を一般化した分布と考えられています。

まとめ

半正規分布は、その特異な性質と多様な応用から、統計学やデータ分析の分野で重要な役割を果たしており、理解を深めることでより良いデータ解析手法の開発に寄与します。

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