単純多元環

単純多元環の概要

数学の領域で重要な構成要素の一つである単純多元環は、非自明な両側イデアルを持たない多元環のことを指します。これは環の理論において基礎的な役割を果たし、様々な分野において研究されています。ここでは、単純多元環の特徴や、関連する概念について詳しく説明します。

可除環

可除環（または斜体環）は、0でないすべての元が逆元を持つ環として定義されます。特に、実数体 R 上の有限次元の線形環で可除環になるのは R 自身、複素数体 C、および四元数体 H のみです。このような環の特性は、さまざまな理論において重要な役割を果たします。また、環 A 上の既約加群 S に対して、S の自己準同型全体から成る環は単純環になります。

有限次元の単純環

可換体 K 上の代数 R が単純環である場合、これは R の両側イデアルが 0 および R 自身に限られることを意味します。このような環は K 上の線形単純環と呼ばれます。もしこの線形単純環 R が有限次元であるならば、K を中心に含む斜体 D が存在し、R は D 上の行列環として帰納されます。これにより、線形単純環の性質をより深く理解できます。

ブラウアー群

可換体 K 上の中心単純環は、その中心が K である場合に特に重要です。これらの中心単純環を使用して作られた K 上のテンソル積もまた中心単純環であり、群演算が定義されます。これにより、可換ブラス（ブラウアー群） Br(K) が形成されます。この群は、K のブラウアー群として知られ、p-進体のブラウアー群は特に Q/Z という形を取ります。また、ブラウアー群はもともと絶対ガロア群の群コホモロジーとしても扱うことができます。

無限次元の単純環

無限次元の単純環も重要な研究対象であり、特に C-環やフォン・ノイマン環の理論において、単純な環は他の構造の基礎要素として現れます。特に、C-環の K-群における元の環の射影子の類は半群を形成し、単純 C*-環の同型類を分類するための重要な手段として期待されています。

因子

フォン・ノイマン環に関しては、中心が自明な環を因子と呼びます。これは、両側イデアルが自明なものしか持たないという条件と等価です。数学的対象への群作用から生成されるフォン・ノイマン環が因子であることは、通常、考えている作用がエルゴード的であることを示します。可分ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン環は、その中心が表すコンパクト距離空間上で因子の「積分」を取る形で表されることがあります。これにより、フォン・ノイマン環の半単純性や因子に関するさまざまな考察が可能となります。

このように、単純多元環は数学の広範な理論において根幹をなす概念であり、さまざまな数学的構造との関連性を通じて、より深い理解を得ることができます。

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