双曲型偏微分方程式

双曲型偏微分方程式とは

数学において、n階の双曲型偏微分方程式とは、大まかに言うと、n-1階までの微分で初期値問題が適切に設定できる偏微分方程式のことを指します。より厳密には、非特性的超曲面に沿った任意の初期データに対して、局所的に解を持つコーシー問題を扱うことができる方程式です。

双曲型方程式の重要性

力学に現れる多くの方程式は双曲型であるため、その研究は非常に重要です。また、時代の要請にも応えるものであり、活発に研究が行われています。

代表例：波動方程式

双曲型方程式の代表的な例として、波動方程式が挙げられます。一次元の場合、波動方程式は以下のように表されます。

math
u_{tt} - u_{xx} = 0

この方程式には、もしuとその一階微分が初期直線t=0上で任意に特徴付けられる初期データであるならば、すべての時間に対して解が存在するという重要な性質があります。

双曲型方程式の解の特性

双曲型方程式の解は「波状」の性質を持ちます。初期データに擾乱が加えられた場合、その影響は空間全体に同時に及ぶのではなく、有限の速度で伝播します。この伝播速度は、方程式の特性曲線に沿って移動します。この特徴は、楕円型方程式や放物型方程式とは大きく異なる点です。楕円型や放物型の方程式では、初期データに与えられた摂動は、領域内のすべての点に瞬時に影響を与えます。

双曲性の定義

双曲性の定義は定性的ですが、微分方程式の種類に応じて、それを判断するための明確な基準が存在します。線型微分作用素に対しては、ラース・ガーディンの超局所解析による定理が利用されます。非線型微分方程式の場合は、その線型化がガーディンの意味で双曲型であれば、その方程式も双曲型とみなされます。保存則系に現れる一階の方程式系にも、異なる定理が存在します。

双曲型偏微分方程式の定義

偏微分方程式が点Pにおいて双曲型であるとは、Pを通る非特性的超曲面上に任意の初期データが与えられたとき、そのコーシー問題がPの近傍において一意に解を持つことを意味します。

例

以下の形式で記述される二階偏微分方程式を考えます。

math
Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + (lower \, order \, terms) = 0

ここで、

math
B^2 - 4AC > 0

を満たす場合、この方程式は変数の線型変換によって波動方程式に変換できます。ただし、低階の項は残りますが、方程式の定性的な理解においては本質的ではありません。この定義は、平面における双曲線の定義と類似しています。

一次元波動方程式

一次元の波動方程式は双曲型方程式の代表例です。

math
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

二次元や三次元の波動方程式も同様に、双曲型偏微分方程式に含まれます。

二階双曲型偏微分方程式と双曲系

二階の双曲型偏微分方程式は、一階の微分方程式からなる双曲系に変換できる場合があります。

偏微分方程式の双曲系

空間の次元をdとし、未知関数をs個とします。

math
\vec{x} \in \mathbb{R}^d

math
\vec{u} = (u_1, \dots, u_s)

math
\vec{u} = \vec{u}(\vec{x}, t)

以下の形式の一階偏微分方程式系を考えます。

math
() \quad \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} \vec{f^j}(\vec{u}) = 0

ここで、`f^j`は連続的に微分可能な関数であり、一般的には非線型です。

各`f^j`に対して、s×s行列`A^j`を以下のように定義します。

math
A^j := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1^j}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1^j}{\partial u_s} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_s^j}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_s^j}{\partial u_s} \end{pmatrix}, \text{ for } j=1, \ldots, d

このとき、系()が双曲的であるとは、任意の`α_1, ..., α_d ∈ R`に対して、行列

math
A := α_1A^1 + \cdots + α_dA^d

が対角化可能であり、その固有値が全て実数であることを意味します。

行列Aが「異なる」実固有値を持つ場合、Aは対角化可能であり、この場合系()は厳密に双曲的であると言います。

双曲系と保存則

双曲系と保存則には深い関連があります。一つの未知関数`u = u(x, t)`についての一つの微分方程式からなる双曲系を考えます。この場合、系()は以下のようになります。

math
() \quad \frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} f^j(u) = 0

ここで、`u`は流束`f = (f^1, ..., f^d)`を持つある量と考えることができます。この量が保存されることを示すために、系()を領域Ωについて積分します。

math
\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} d\Omega + \int_{\Omega}
abla \cdot \vec{f}(u) d\Omega = 0

`u`と`f`が十分に滑らかな関数であるならば、発散定理と積分と時間微分の順序交換により、量`u`についての保存則を得ることができます。

math
\frac{d}{dt} \int_{\Omega} u d\Omega + \int_{\partial \Omega} \vec{f}(u) \cdot \vec{n} d\Gamma = 0

この式は、領域Ω内のuの時間変化率が、境界∂Ωに沿った正味の流束に等しいことを意味します。したがって、uはΩ内で保存されていると結論付けられます。

脚注

[脚注の参照は省略]

参考文献

Evans, Lawrence C. (2010) 1998], Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR2597943, [http://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Rozhdestvenskii, B.L. (2001), “Hyperbolic partial differential equation”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, [ISBN]] 978-1-55608-010-4, [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hyperbolic_partial_differential_equation

外部リンク

Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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