商位相空間

商空間とは

位相空間論において、商空間（英: quotient space）または等化空間（英: identification space）とは、与えられた位相空間の特定の点の集まりを「貼り合わせる」あるいは同一視することによって得られる新しい空間です。この「貼り合わせる」操作は、同値関係によって定義されます。商空間の構成は、位相空間から新しい空間を生成する基本的な方法の一つであり、数学の様々な分野で広く用いられています。

定義

位相空間 X 上の同値関係 '~' が与えられたとき、X の要素をその同値類へ写す自然な射影 q: X → X/~ を考えます。このとき、商集合 X/~ 上に、X の開集合の像が X/~ の開集合となるように位相を定義します。この位相を商位相と呼び、商位相を備えた X/~ を商空間と呼びます。

より具体的には、X/~ の部分集合が開集合であるとは、その逆像である X の部分集合の和が X における開集合であるときに定義されます。これは、写像 q を連続にする最も細かい位相（最強の位相）としても特徴付けられます。また、位相空間 X から集合 Y への全射 f: X → Y が与えられたとき、Y 上に f を連続にする最強の位相として商位相を定義することも可能です。この場合、Y の部分集合が開集合であるとは、その逆像が X の開集合であることと同値です。写像 f は、x1 と x2 の像が等しいときに x1 ~ x2 となる同値関係をX上に誘導し、この同値関係による商空間 X/~ は、商位相に関して Y と同相になります。

連続な全射 f: X → Y は、Y の位相が f の定める商位相になっているとき、商写像と呼ばれます。したがって、標準射影 q: X → X/~ は商写像です。

例

貼り合わせ (Gluing)

位相空間 X の二点 x, y を貼り合わせるというのは、x と y を同一視する同値関係によって得られる商空間を考えることを意味します。この操作により、x と y は同じ一つの点として扱われます。

単位矩形と単位球面

単位矩形 I² = [0,1] × [0,1] の境界上の点を全て同一視する同値関係を考えます。このとき、商空間 I²/~ は単位球面 S² と同相になります。これは、矩形の境界を一点に縮めることで球面が作られることを示しています。

接着空間

位相空間 X とその部分空間 A があるとき、A に属する全ての点を一つの同値類とし、それ以外の点は自分自身のみと同一視する同値関係による商空間を X/A と表します。例えば、2次元球面 S² は単位円板 D² の境界を一点に貼り合わせて得られる商空間 D²/∂D² と同相です。

実数直線と円

実数全体の集合 R に通常の位相を入れ、x と y の差が整数である場合に x ~ y となる同値関係を考えます。このとき、商空間 R/~ は単位円 S¹ と同相になり、各同値類 [x] は exp(2πix) に写されます。

軌道空間

位相群 G が位相空間 X に連続的に作用する場合、同じ軌道に属する点を同一視する同値関係によって商空間を定義することができます。この商空間を軌道空間と呼び、X/G で表します。例えば、Z が R に平行移動で作用する場合の軌道空間 R/Z は S¹ と同相になります。

性質

商写像の普遍性

商写像 q: X → Y は、任意の位相空間 Z と写像 f: Y → Z が与えられたとき、f が連続であることと f ∘ q が連続であることが同値となる特徴があります。

特に、商空間 X/~ と自然な全射 q: X → X/~ は、g: X → Z が連続で、a ~ b ならば g(a) = g(b) を満たすならば、連続写像 f: X/~ → Z が g = f ∘ q を満たすように一意に存在するという普遍性によって特徴付けられます。このとき、g を「商に落とす」と言い、f が g によって誘導されると表現します。

連続な全射の判定

連続な全射 f: X → Y が商写像であるかどうかを判定する有用な方法として、f が開写像または閉写像であるとき、f は商写像であるというものがありますが、これは十分条件であり必要条件ではありません。開でも閉でもない商写像の例も存在します。

分離性

商空間の構成は、分離公理との相性が悪い場合があります。つまり、空間 X が分離性を持っていたとしても、商空間 X/~ が必ずしも同じ性質を持つとは限りません。X/~ がT1-空間であるための必要十分条件は、同値関係 ~ の各同値類が X の閉集合であることです。また、商写像が開であるとき、X/~ がハウスドルフ空間であることと、関係 ~ が直積位相空間 X × X の閉集合であることが同値になります。

連結性

位相空間が連結または弧状連結ならば、その商空間も同じ性質を持ちます。しかし、単連結または可縮な空間の商空間は、必ずしも同じ性質を持つわけではありません。

コンパクト性

位相空間がコンパクトならば、任意の商空間もコンパクトになりますが、局所コンパクト空間の商空間は必ずしもそうではありません。

次元

商空間の位相次元は、元の空間の次元よりも増加する可能性があります。この現象は、空間充填曲線などに見られます。