多元環

多元環の概要

数学の分野において、多元環（たげんかん、英: algebra）とは、特定の代数的構造を持つものです。可換環を土台とし、加群としての特徴を持ちながら、それに合った積の構造を有します。多元環という名称の直訳として「代数」とも言われることが多いですが、ブルバキの数学原論では、特に結合性を持つものを線型環と呼んでいます。さらに、この概念には双対的な性質を持つ余代数（双対多元環）も存在します。

多元環の種類

代数学の中で、多元環はさまざまなタイプに分類されます。以下に主なクラスを示します。

環上の多元環

これは、環の上で双線型な乗法を持つ加群を指します。

体上の多元環

体上のベクトル空間で、双線型な乗法を持つ加群として捉えることもできる構造です。

結合多元環

このタイプでは、双線型な乗法が結合的である特性を持ちます。

分配多元環

分配多元環とは、乗法の結合性が特に問われない非結合的な多元環です。

特定の多元環

特定の多元環には次のようなものがあります。

• - 超代数: Z/2Z-次数に付随する多元環
• - リー環（リー代数）: 悲観的な乗法が求められる多元環。
• - ポアソン代数: 符号付きの積を持ち、物理学にも応用されるタイプです。
• - ジョルダン環（ジョルダン代数）: 結合性に関する条件を緩和したもの。

解析学における多元環

解析学の分野では、特定の多元環がいくつか取り扱われます。以下はその例です。

• - バナッハ環（バナッハ代数）: 結合多元環として機能するバナッハ空間を基盤としたもの。
• - 作用素環（作用素代数）: 連続線型作用素の写像合成に関して成り立つ多元環です。
• - *星型環（-環、-代数）: 対合の概念に基づく多元環の一種で、随伴によって定義されます。
• - C-環（C-代数）: 対合を持つバナッハ環の特例です。
• - フォンノイマン環（フォンノイマン代数、W-環）**: フォンノイマン代数として知られる特定の環です。

集合と論理における多元環

少し異なる意味合いでの「代数」という概念も存在し、論理演算や集合、束を一般化したものとしていくつかのタイプがあります。例えば、数理論理学ではブール代数やハイティング代数があり、測度論では集合代数やσ-代数が存在します。

圏論における代数の概念

圏論や理論計算機科学においても、「代数」という用語は広く用いられます。具体的には、F代数やF余代数といった概念が知られています。

結論

多元環は数学の多くの分野で用いられ、基礎的な構造を提供する重要な概念です。さまざまな種別や関連する理論が存在し、それぞれの特性を理解することで、深い洞察を得ることができます。

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