射有限群

射有限群（Pro-finite Group）

射有限群とは、有限群の射影系の極限をもとに形成される位相群のことを指します。この群は、特にガロア群やp-進整数といった数論において興味深い役割を果たします。

定義と特徴

射有限群は、基本的に完全に不連結であり、かつコンパクトなハウスドルフ位相群として定義されます。さらに、離散的な有限群から成る射影系の極限としても理解できます。これは、具体的には離散有限群の間の自然な射影が形成されることによって、射影極限が得られることを意味します。

例えば、任意の有限群は離散的なトポロジーに関して射有限であり、p-進整数全体で構成される加法群Zpもまた射有限群です。ここで、Zpは自然数nを動かすことで有限群Z/p^nZとの間の自然な射影系を形成し、射有限群としての位相がp-進添字に基づいたトポロジーと一致します。

ガロア理論との関係

射有限群は無限次のガロア拡大においても重要な意味を持ちます。具体的には、L/Kを無限次元のガロア拡大とした場合、Kに固定されたL上の体自己同型全体から成る群G=Gal(L/K)は、有限ガロア群Gal(F/K)の射影系の逆極限として構成されます。このようにして得られる群の位相は、ヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相（Krull topology）と呼ばれています。

さらに、ニコライ・ニコロフおよびダン・ジーゲルの定理に基づいて、射有限群は位相的に有限生成である場合に、指数有限な部分群が開集合として存在することが示されています。この特性は、群の構造を理解する際に非常に重要です。

基本群との関係

代数幾何学における基本群も射有限群として扱われることが多く、これは代数多様体の有限被覆のみが対象となることを反映しています。しかし、代数的な位相幾何学においては、基本群が一般的には射有限ではないことも留意すべき点です。

射有限完備化と入射有限群

任意の群Gに対して、その射有限完備化（profinite completion）G^が存在します。これは、Gの指数有限な正規部分群を用いて構成され、群Gに自然な準同型が存在します。この準同型は、任意の射有限群に対する準同型と一意的に対応します。

また、射有限群の双対概念として入射有限群（ind-finite group）もあります。これは有限群の成す帰納系の帰納極限として理解され、局所有限という特性を持ちます。

まとめ

射有限群は、その特異な構造により数論や代数幾何学において非常に重要な位置を占めています。これらの群は様々な数学的概念に接続しており、その性質を理解することは、多くの数学の問題に対する洞察をもたらします。

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