局所コンパクト群における格子

格子の理論における基本概念

リー理論およびその関連分野では、局所コンパクト位相群における格子とは、特定の性質を持つ離散的な部分群を指します。この定義において、格子は商位相空間が有限な不変測度を持つときに成立します。

特に局所コンパクト群 R^n においては、一般的な幾何学の視点からも格子の概念を理解することができ、その代数的な性質や幾何学も広く研究されています。1950年代から1970年代にかけて、ボレルやハリシュ＝チャンドラなどの数学者によって、格子に関する多くの顕著な結果が得られ、これにより冪零リー群や局所体上の半単純代数群への理論の発展がもたらされました。

格子の定義

より詳細に紹介すると、局所コンパクト位相群 G があり、μ がそのハール測度であるとき、離散部分群 Γ が G の格子であるとは、商空間 G/Γ が有限な不変測度を有するときを指します。これと同等の条件として、G が単模群で、商空間の体積 μ(G/Γ) が有限である場合もあります。また、商空間がコンパクトであれば、格子は一様 (uniform) または余コンパクト (cocompact) と呼ばれ、これ以外の場合は非一様 (nonuniform) の性質を持ちます。

算術格子

非一様格子の代表的な例とされるのが、群 SL(2,Z) です。これは特殊線型群 SL(2,R) に関連し、モジュラー群と密接な関係があります。このような構造は、局所体 F 上の半単純代数群における格子のクラスとしての算術格子への重要な一般化を提供します。たとえば、F が実数体 R の場合、リー群 G(R) は R に成分を持つ行列全体から構成され、整数全体 Z に制限されることで格子 G(Z) が得られます。グリゴリー・マーグリスは、特定の条件の下で全ての格子がこの方法で構成されることを示しました。この理論は「格子の算術性」や「マーグリスの算術性定理」として知られ、多くの影響を及ぼしています。

S-算術格子

算術格子には、S-算術格子と呼ばれる重要な一般化が存在します。最初の例として、対角線埋め込みによる構成が挙げられます。特に、局所体上の代数群の直積群における格子を形成します。この構成は、整数環の素数による局所化に基づいており、SがQの座を含むことが特徴です。このような一般化は算術格子とは異なるが、多くの共通点を持っています。

アデール代数群の格子

格子の別の重要な側面は、保型形式論において大域体 K 上の半単純線型代数群 G の K-有理点によって得られる構造です。ここでは、グループがアデール代数群 G(A) に埋め込まれ、G(K) がその格子となります。ただし、他の算術格子とは異なり、G(K) は有限生成ではないことがあります。

剛性

さらに、半単純代数群における格子は、剛性という特性を持つことが多いです。モストウの剛性定理は、分裂階数が2以上のリー群において、格子の代数的構造が群自体を決定することを示しています。超剛性という概念もあり、これは格子から別の代数群への準同型の扱いを概念的に発展させます。

樹状格子

最後に、樹状格子についても触れます。局所有限木 X の自己同型群 G は、局所コンパクト位相群となり、固定部分群によってその位相が定義されます。適切に定義されたとき、部分群 Γ が X-格子として成立することがあり、この条件は商空間の体積が有限であることに関連しています。

格子という概念は、数学の様々な分野において重要な役割を果たし、様々な理論や構造の理解に不可欠です。

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