モジュラー群
モジュラー群とは
数学において、モジュラー群は数論、幾何学、代数学といった現代数学の様々な分野で基礎的な研究対象となる特別な群です。これは幾何学的な変換の集まり、あるいは特定の性質を持つ行列の集まりとして定義されます。
定義
モジュラー群 Γ は、複素平面の上半分（虚部が正の実数である領域）における一次分数変換（メビウス変換）の群として定義されることがあります。具体的には、変換後の複素数 `z'` が元の複素数 `z` に対して `z' = (az + b) / (cz + d)` の形で表されるものです。ここで、係数 `a`, `b`, `c`, `d` はすべて整数であり、かつ `ad - bc = 1` という条件を満たします。群の演算は、これらの変換の合成（続けて行うこと）です。
この変換の群は、整数成分を持つ2x2行列のうち、行列式が1であるもの全体からなる群 `SL(2, Z)` （特殊線型群）を、その中心である単位行列 `I` と `-I` だけで構成される部分群 `{I, -I}` で割った商群 `PSL(2, Z)` に同型であることが知られています。すなわち、`PSL(2, Z)` は、`ad - bc = 1` を満たす整数成分の行列 `(a b; c d)` 全体からなりますが、行列 `A` と `-A` は同一の変換を表すため、群としてはこれらを区別しないという立場を取ります。
ただし、モジュラー群の定義として `PSL(2, Z)` を採用する文献もあれば、より大きな群である `SL(2, Z)` を採用する文献もあります。文脈によってどちらを指すかが異なります。
さらに広い視点では、行列式が ±1 であるような整数成分の2x2行列全体からなる群 `GL(2, Z)` （一般線型群）を考える必要が生じることもあります。`SL(2, Z)` は `GL(2, Z)` の部分群です。同様に、`PGL(2, Z)` は商群 `GL(2,Z)/{I, −I}` として定義されます。また、行列式が1の2x2行列はシンプレクティック行列でもあるため、`SL(2, Z)` は2x2行列に対するシンプレクティック群 `Sp(2, Z)` と一致します。
数論との関連
`SL(2, Z)` の行列 `(a b; c d)` の行列式が1であるという条件 `ad - bc = 1` は、様々な数論的性質と関連しています。例えば、分母が0でないという条件下で、分数 `a/b`, `a/c`, `c/d`, `b/d` がすべて既約分数であること、つまり分子と分母が1以外の共通因子を持たないことと同等です。より一般的に、既約分数 `p/q` に対して、モジュラー変換によって得られる分数 `(ap+bq)/(cp+dq)` も（分母が0でなければ）既約となります。さらに、任意の既約分数のペア `p/q` と `r/s` に対して、ある `SL(2, Z)` の行列 `(a b; c d)` が存在し、`r = ap + bq` かつ `s = cp + dq` となることが知られています。
モジュラー群の元は、2次元の周期格子の対称性とも関連が深いです。比率が実数でない2つの複素数 `ω1` と `ω2` によって生成される格子点 `Λ(ω1, ω2) = {mω1 + nω2 : m, n ∈ Z}` は、`SL(2, Z)` の行列による変換で別の生成元 `α1`, `α2` のペア `(α1; α2) = (a b; c d)(ω1; ω2)` に移されますが、これは全く同じ格子を生成します。この性質から、楕円関数のような二重周期関数はモジュラー群の対称性を持つことが理解されます。
有理数へのモジュラー群の作用は、平面上の格子点 `(p, q)` を分数 `p/q` と見なす「ユークリッドのオーチャード」の図で視覚的に捉えることができます。この図において、既約分数は原点から遮られることなく見える点に対応します。モジュラー群の作用は、見える点を隠された点に、あるいは隠された点を見える点に変換することはありません。
連続する2つの連分数近似分数 `p_{n-1}/q_{n-1}` と `p_n/q_n` から作られる行列 `(p_{n-1} p_n; q_{n-1} q_n)` は `GL(2, Z)` に属します。これは、`ad - bc = 1` を満たす正の整数 `a
群論的性質
モジュラー群は、`z` を `-1/z` に変換する `S` と、`z` を `z+1` に変換する `T` という2つの変換によって生成されると考えることができます。モジュラー群の任意の元は、これらの `S` と `T` の有限回の合成によって表されます。
生成元 `S` と `T` は、`S² = I` （恒等変換）および `(ST)³ = I` という関係式を満たします。これらの関係式はモジュラー群を完全に特徴づけるため、モジュラー群は `
また、`S` と `ST` を生成元として選ぶと、モジュラー群が位数2の巡回群 `C₂` と位数3の巡回群 `C₃` の自由積 `C₂ C₃` に同型であることがわかります。
ブレイド群との関係
3ストランドのブレイド群 `B₃` は、モジュラー群 Γ の中心拡大となっています。これは、`B₃` の中心を `Z(B₃)` とすると、モジュラー群が `B₃` をその中心で割った商群、すなわち `Γ ≅ B₃ / Z(B₃)` であるという関係が成り立つことを意味します。
双曲幾何学との関係
モジュラー群は、双曲平面の等長変換（距離を保つ変換）の群の重要な部分群を構成します。双曲平面の上半平面モデル `H` では、向きを保つ等長変換は、`a, b, c, d` を実数として `ad - bc = 1` を満たす `z ↦ (az+b)/(cz+d)` の形のメビウス変換全体、つまり `PSL(2, R)` に対応します。モジュラー群 `PSL(2, Z)` は `PSL(2, R)` の部分群であり、特に離散部分群です。この離散性により、基本領域を構成することが可能になります。
双曲平面のタイル貼り
モジュラー群は、上半平面 `H` 上に離散的に作用するため、`H` をモジュラー群の作用で移りあうことのない点集合からなる基本領域で分割できます。よく知られた基本領域 `R` は、`|z| > 1` かつ `|Re(z)| < 1/2` で定義される領域で、虚軸に平行な2つの直線と単位円弧で囲まれた形をしています。この領域をモジュラー群のすべての元で変換すると、双曲平面全体が合同な双曲三角形によって敷き詰められる（タイル貼りされる）様子が見られます。このタイリングは、モジュラー形式やモジュラー曲線の研究において重要な役割を果たします。
合同部分群
モジュラー群の重要な部分群として、合同部分群があります。これらは、`SL(2, Z)` の行列成分に合同条件を課すことで得られます。例えば、レベル `N` の主合同部分群 `Γ(N)` は、行列 `(a b; c d)` の成分が、`a ≡ 1 (mod N)`, `b ≡ 0 (mod N)`, `c ≡ 0 (mod N)`, `d ≡ 1 (mod N)` という条件（より正確には `a≡d≡±1, b≡c≡0 (mod N)` を満たす `PSL(2,Z)` の元）を満たすもの全体からなります。これは、自然な写像 `SL(2, Z) → SL(2, Z/NZ)` の核として定義されます。
他の重要な合同部分群として、`Γ₀(N)` があります。これは、行列の成分 `c` が `N` の倍数である (`c ≡ 0 (mod N)`) という条件を満たすモジュラー変換全体です。これらの合同部分群に関連するモジュラー曲線は、数論や他の数学分野で深く研究されており、例えばモンスター群との関連（モンストラス・ムーンシャイン）も指摘されています。
写像トーラスとの関係
整数成分の行列群 `GL(2, Z)` は、整数格子 `Z²` を自分自身に移す線形変換に対応します。特に `SL(2, Z)` の元は、この格子の向きを保つ線形変換です。これらの変換は、2次元トーラスの自己同相写像（空間の形を変えずに自分自身に移す連続写像で、逆写像も連続であるもの）と密接に関連しており、実際、`SL(2, Z)` はトーラスの写像類群と同型であることが知られています。
ヘッケ群
モジュラー群は、ヘッケ群 `Hq` へ一般化されます。ヘッケ群は離散群であり、`z ↦ -1/z` と `z ↦ z + λq` （ただし `λq = 2cos(π/q)`）という2つの変換によって生成されます。モジュラー群は `q=3` の場合のヘッケ群 `H₃` に同型です。ヘッケ群もまた、`C₂ Cq` という巡回群の自由積に同型であるなど、モジュラー群と類似の性質を持ちます。
歴史
モジュラー群とその関連構造は、1870年代にリヒャルト・デーデキントとフェリックス・クラインによって詳細に研究されました。しかし、それに先行して、関連する楕円関数は18世紀末のジョゼフ＝ルイ・ラグランジュや、19世紀初頭のカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、ニールス・アーベルらによって研究されていました。これらの研究を通じて、モジュラー群の重要性が認識されるようになりました。
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