幾何学的変換

幾何学的変換

幾何学的変換は、数学、特に幾何学の分野で基本的な役割を果たす概念です。これは、ある集合から自身への（あるいは異なる集合への）写像であり、その集合が持つ幾何学的な構造を何らかの形で反映したり、保持したりします。具体的には、平面や空間といった点の集合を対象とする変換がよく考えられます。このような変換はしばしば、元の点と移された点が1対1に対応するような写像として定義されます。

幾何学の研究は、古くから図形の合同や相似といった変換の考え方に基づいて進められてきました。現代では、より一般的な視点から様々な幾何学的変換が研究されており、それらを理解することは、幾何学の本質に迫る上で不可欠です。

幾何学的変換は、いくつかの基準に基づいて分類することができます。一つは、変換の対象となる集合の次元です。例えば、平面上の変換と空間上の変換は区別されます。もう一つは、変換がどのような幾何学的性質を保持するかという基準です。この保持される性質によって、多様な種類の変換が定義されます。

保持される性質による分類

特定の幾何学的属性を保持する代表的な変換を以下に挙げます。これらの変換の間には、包含関係が見られます。

変位: 図形の位置と向きを変えずに移動させるような変換です。距離と向き付けられた角度を保ちます。
等長写像: 距離と角度の両方を保つ変換です。図形の大きさや形を変えずに、位置や向きだけを変えます。変位は等長写像の一種とみなせます。
相似変換: 角度を保ちつつ、すべての線分の長さを一定の比率で拡大または縮小する変換です。図形の形は変わりませんが、大きさは変わる可能性があります。等長写像は相似比が1の相似変換です。
アフィン変換: 平行性を保つ変換です。平行な直線は変換後も平行な直線となります。直線は直線に、平面は平面に移されます。相似変換はアフィン変換の一種です。
投影変換: 直線上にある点（共線的な点）は、変換後も直線上にあるという性質（共線性）を保つ変換です。アフィン変換は特別な投影変換です。

これらの変換は、リストの上から下へ行くにつれて、保持される性質がより少なくなり、より一般的な変換になっていくという関係にあります。すなわち、投影変換はアフィン変換を含み、アフィン変換は相似変換を含み、相似変換は等長写像を含み、等長写像は変位を含む、という階層構造になっています。

その他の重要な変換

上記の分類とは少し異なる視点や、より高度な概念に基づく変換もあります。

メビウス変換（円反転）: 複素数平面上で定義される変換の一つで、直線と円からなる集合を、やはり直線と円からなる集合に移す性質を持ちます。直線が円になったり、円が直線になったりすることもあります。
微分同相写像: 微分可能な多様体上で定義される変換で、逆写像も微分可能であるような滑らかな変換です。
等角写像: 微分同相写像の特別な場合で、図形の交わる角度を局所的に保つ変換です。局所的には相似変換のような振る舞いをします。
等面積写像: 平面変換では面積を、空間変換では体積を保つ微分同相写像です。局所的には行列式が1のアフィン変換として振る舞います。
位相同型写像: 最も一般的な変換の一つで、空間の位相構造、つまり点の近さや連結性といった性質を保つ写像です。連続的に変形できるような変換と考えることができます。

変換と群論

同じ種類の幾何学的変換全体の集まりは、変換の合成を演算として数学的な構造である「群」を形成することがしばしばあります。例えば、等長写像全体の集まりは群をなします。このような変換群の構造を研究することは、幾何学を代数的な視点から捉えるエルランゲン・プログラムのような枠組みにおいて非常に重要です。

幾何学的変換の概念は、純粋数学だけでなく、コンピューターグラフィックス、物理学、工学など、様々な分野で応用されています。その多様な性質の探求は、現代数学の重要なテーマの一つです。

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