扁球

扁球（へんきゅう）とは

扁球とは、楕円をその短軸を回転軸として回転させた際に形成される回転体です。また、扁球は3つの径のうち、長い2つの径が等しい楕円体であるとも定義できます。言い換えると、短半径が極半径、長半径が赤道半径となる回転[[楕円体]]です。

反対に、楕円をその長軸を回転軸として回転させた際に形成される回転体は「長球」と呼ばれます。

扁球の方程式

長半径をa、短半径をbとする扁球の内部の点(x, y, z)は、以下の式を満たします。

math
\left(\frac {x}{a}\right)^{2}+\left(\frac {y}{a}\right)^{2}+\left(\frac {z}{b}\right)^{2} \leq 1


または、

math
\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac {z^{2}}{b^{2}} \leq 1


扁球面上にある点は、以下の式を満たします。

math
\left(\frac {x}{a}\right)^{2}+\left(\frac {y}{a}\right)^{2}+\left(\frac {z}{b}\right)^{2} = 1


または、

math
\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac {z^{2}}{b^{2}} = 1

扁球の性質

扁球の体積V、離心率e、表面積Sは、それぞれ以下の式で表されます。

体積 V:

math
V = \frac{4}{3}\pi a^2 b


離心率 e:

math
e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}


表面積 S:

math
S = 2\pi \left(a^{2}+\frac {b^{2}\tanh ^{-1}e}{e}\right)


また、地理緯度φにおける子午線曲率半径 M_φ及び卯酉線曲率半径 N_φは、それぞれ以下のようになります。

子午線曲率半径 M_φ:

math
M_{\varphi} = \frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\varphi)^{\frac{3}{2}}}


卯酉線曲率半径 N_φ:

math
N_{\varphi} = \frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}}


これらの二量を用いて、子午線に対して方位角αを成す垂直截線の曲率半径 R_φ^αは、オイラーの定理により、以下のように表されます。

math
\frac{1}{R_{\varphi}^{\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha}{M_{\varphi}} + \frac{\sin^2\alpha}{N_{\varphi}}

扁球状の物体

身の回りにある扁球状の物体としては、碁石、マーブルチョコレート、M&M's、ウンシュウミカンなどが挙げられます。また、地[[球]]も扁平率が小さく真球に近い形状ですが、18世紀半ばに行われた北極付近と赤道付近の子午線弧長の比較により、扁球状であることが判明しています。

ただし、これらの扁球状の物体は、厳密には真の扁球ではない場合があります。

関連項目

地[[球]]楕円体
回転体
回転[[楕円体]]
長球
球

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