捩率テンソル

捩率テンソルについて

捩率テンソル（れいりつテンソル、英: torsion tensor）は、アフィン接続の特性を示す重要なテンソルです。このテンソルは、2つのベクトル場 X と Y に対し、アフィン接続∇を用いて次のように定義されます:

$$
T_{
abla}(X,Y) :=
abla_{X}Y -
abla_{Y}X - [X,Y]
$$

ここで、$[X,Y]$ は X と Y のリー括弧を表します。この定義によって捩率テンソルは、アフィン接続が持つねじれの度合いを表すものとして機能します。

捩率という名称の意義

「捩率」という用語については、Loring W. Tuはこの名称が適切である理由がないと述べており、同様にMichael Spivakも指摘しています。従って、「捩れ」としての明確な意味は与えられないものの、捩率テンソルは微分の非可換性を示す指標として意義があります。このテンソルはまた、カルタン幾何学における曲率概念の一部として理解されることもあります。

定義と性質

捩率テンソルを構成するためには、まずアフィン接続について考慮する必要があります。ここで、X，Y，ZはM上のベクトル場、a，bは実数、fはM上で定義された実数値の可微分関数とします。また、$f_{s}$ は点uにおける$fs$の切断を表し、$X(f)$は fのX方向微分を示します。

捩率テンソルが形成される条件として、次の点が成り立ちます。局所座標$(x^1,
to , x^n)$で考えると、次のように表現できます:

$$
T_{
abla}(X,Y) = X^{j} Y^{k} \left(
abla_{\partial_{j}} \partial_{k} -
abla_{\partial_{k}} \partial_{j} \right) = X^{j} Y^{k} \left( \Gamma^{i}{}_{jk} - \Gamma^{i}{}_{kj} \right) \partial_{i}
$$

ここで、$\partial_{i} = \frac{\partial}{\partial x^{i}}$は局所座標系における微分を表し、$\Gamma^{i}{}_{jk}$はクリストッフェル記号です。この式からわかるように、捩率テンソルは$(T^{}M \times T^{}M \times TM)$に属することが確定します。

特に、捩れのない接続においては、$\Gamma_{ijk}$が対称であることが重要な性質です。このアフィン接続においては、外微分$
abla$と両立性を持つことが捩れのない条件となります。

意味づけ

前述のように、「捩率」という名称について疑義があるものの、捩率テンソルには多くの重要な解釈が待っています。なめらかな写像αに対してリー括弧の性質が成り立ち、$
abla_{\partial_{x}}$の形式を用いることで、このテンソルは二つの微分の非可換性を示す数量として機能します。

他の概念との関連

リーマン多様体において、レヴィ・チヴィタ接続は捩率テンソルがゼロである点で特徴づけることができます。この接続は、捩れのないアフィン接続を定義するための基盤となります。

また、捩率形式や曲率形式といった他の数学的概念と密接につながっています。本稿では、これらの性質や背景を掘り下げていきます。

結論

捩率テンソルは、アフィン接続の重要な特性を明らかにするものであり、幾何学、特にカルタン幾何学において多くの意味を持ちます。今後の研究においても、その意義が深まることが期待されています。

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