最小多項式 (線型代数学)

線形変換の最小多項式

線型代数学において、最小多項式は線形変換や行列の重要な性質を記述する概念です。この記事では、最小多項式の定義、固有多項式との関係、対角化可能性との関連、そして具体的な計算方法について解説します。

最小多項式の定義

体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換 T を考えます。T を零行列にする F 係数の多項式の中で、最高次係数が 1 であり、次数が最小のものを T の最小多項式と呼びます。これは、T を根とする多項式の中で最も「小さい」多項式と言えるでしょう。

最小多項式 p(x) は、p(T) = 0 を満たす唯一のモニック多項式であり、他の多項式 q(x) が q(T) = 0 を満たすなら、q(x) は p(x) で割り切れます。この性質は、最小多項式が T の性質を決定する上で重要な役割を果たします。

固有多項式との関係

最小多項式と固有多項式は密接に関連しています。最小多項式の根は、常に固有多項式の根、つまり固有値となります。しかし、逆は必ずしも成り立ちません。最小多項式における根の重複度は、対応するジョルダン細胞の最大次数を示します。

具体例として、n 次単位行列の 2 倍である 2Iₙ を考えましょう。この行列の固有多項式は (x-2)ⁿ となりますが、最小多項式は x-2 です。n ≥ 2 の場合、最小多項式と固有多項式は一致しません。ケイリー・ハミルトンの定理により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが分かります。

対角化可能性

線形変換 T が対角化可能であるための必要十分条件は、最小多項式が F 上で一次式の積に分解し、全ての根の重複度が 1 であることです。これは、ジョルダン標準形との関連で理解できます。全てのジョルダン細胞の次数が 1 であることと対角化可能であることは同値であり、最小多項式の根の重複度がジョルダン細胞のサイズを表しているため、この条件が導かれます。

最小多項式の計算方法

最小多項式の計算方法の一例として、ベクトル v と線形変換 T を用いた方法を紹介します。まず、v, T(v), T²(v), ... が線形従属になる最小の次数 d を探します。これらのベクトルの線形関係式から、最小多項式の係数を決定できます。

より一般的には、ベクトル空間の基底 {v₁, v₂, ..., vₙ} を選び、各基底ベクトル vᵢ について上記の方法で多項式 μ(T, vᵢ) を求めます。T の最小多項式は、これらの多項式の最大公約元となります。

まとめ

最小多項式は、線形変換の重要な不変量であり、その性質を調べる上で不可欠な概念です。固有多項式との関係、対角化可能性との関連、そして具体的な計算方法を理解することで、線型代数学のより深い理解につながります。最小多項式は、ジョルダン標準形、ケイリー・ハミルトンの定理など、他の重要な概念とも深く結びついています。これらの関連性を理解することで、線形代数学全体の理解が深まります。

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