核 (代数学)

準同型とその核の概念

代数学において、準同型は代数的構造を保つ写像であり、その核はこの写像によってどのように要素が逆像に対応するかを示します。特に、核とは準同型における逆像の特定の元に関する情報を提供するものであり、通常は0や1に関連づけられます。群においては、この核は1の逆像ともなり得ますが、一般的には0の逆像が核として注目されます。

株の特性と核の重要性

準同型の核が0または1だけで構成されるとき、それが「自明」であるとされ、この特徴はその写像が単射であることに対応します。この自明さは、逆像においてすべての要素が単一の要素に対応していることを示し、核が準同型の単射性を測る道具として機能することを意味します。

例えば、アーベル群やベクトル空間といった構造では、すべての核が同様の形で一致します。しかし、一般的には異なる呼び名を持つ核が存在しており、群内の正規部分群や環内の両側イデアルなどがその一例です。

さらに、核は部分対象を定義する役割も担っており、多くの代数的構造における準同型定理、あるいは第一同型定理によれば、準同型の像と核による商は同型写像の関係にあります。この関係の理解は、抽象代数学や圏論において非常に重要な概念となります。

基点を持たない構造

準同型の核は基点を持たない構造において、2つの同じ構造を持つ集合AとBがあり、写像f: A → Bが存在するときに定義されます。このときの核Ker(f)は、A × Aの部分集合として表され、2つの元が同じ像に対応する場合の関係が成り立ちます。具体的には、Ker(f)が自明であるとは、すなわちKer(f) = Δ(A)であるとき、これは恒等関係を示すことになります。

基点を持つ構造

一方で、基点を持つ構造においては、同様に準同型f: A → Bの核Ker(f)はAの基点の逆像として定義されます。この場合、核は基点を必ず含む形となり、その核が唯一の元からなる場合は自明な核であるとされます。

この2つの定義は、基点を持つ多くの代数系においては等質性があるため、品質が同じ関係を定義することが可能です。特に、核が自明であれば、単射であることと同義であり、核の自明さはその準同型のあたかも重要な特性を表します。

具体的な例

群の準同型

具体例の一つとして、群GとHを取り上げ、群準同型f: G → Hにおける核の性質を見ていきます。ここで、Gの核は、画像がHの単位元となる要素の集合として定義され、これによりGの部分群、特に正規部分群となることが確認されます。

環と加群の準同型

環の準同型f: R → Sの場合、この核は部分環であり、さらにイデアルとしての性質を持ちます。加群についても同様に、核が自明であることと、その準同型が単射であることは同値です。特に体上の加群であるベクトル空間においても、同様の考え方が適用され、核は零空間という形で表現されます。

半群準同型

半群S, Tにおいても、準同型f: S → Tの核はS × Sの部分集合として定義され、この核により準同型は様々な関係を示すことができます。

準同型定理

最終的に、準同型定理により、任意の写像h: S → Tに対して、始域Sを核で割った集合が自然に商構造を持つことが示されます。この構造は余像と呼ばれ、写像の像に関する情報を含み、代数的な性質を引き出す役割を果たします。このように、準同型の核の概念は代数的構造の理解において基本的かつ強力なツールであると言えるでしょう。

まとめ

このように見ていくと、準同型の核は代数的構造のさまざまな関係を解析する上での重要な概念であり、人々が抽象代数学の深い理解を得るための礎になります。

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