次数付きベクトル空間

次数付きベクトル空間

数学において、次数付きベクトル空間（じすうつきベクトルくうかん）とは、特定の次数付けの構造を持つベクトル空間を指します。この空間は、異なる次数に基づいて直和として分解され、その各部分がベクトル空間となります。具体的には、自然数全体の集合 ^N における次数付けられたベクトル空間は、よく「次数線型空間」と表示され、以下のように表現されます。

$$
V = igoplus_{n ext{ in } ext{N}} V_n
$$

ここで、各 $V_n$ が次数 $n$ の斉次成分と呼ばれます。この定義により、次数付きベクトル空間は、各次数に応じた構造を持つことが分かります。

導入

次数付きベクトル空間は数学の様々な分野で重要な役割を果たしており、特に多項式やテンソル代数などの構造においてよく用いられます。例えば、一変数の多項式全体は、次数付き線型空間の一例です。これを次のように定義できます。

$$
ext{C}[z] = igoplus_{n ext{ in } ext{N}} ext{C} z^n
$$

ここで、$C[z]$ は全ての多項式の集合であり、その次数 $n$ の斉次元は、次数 $n$ の単項式からなる線型結合によって与えられます。この他にも、ベクトル空間 $V$ に関連するテンソル代数 $T(V)$ や外積代数 $igwedge(V)$ などにも次数の概念が自然に適用されます。

一般の定義

次数付きベクトル空間は、特定の整数に限らず、任意の添字集合 $I$ に基づいて定義できます。この場合、$I$-次数付き線型空間 $V$ は、集合 $I$ の各元 $i$ に対し、部分線型空間の直和で以下のように記述されます。

$$
V = igoplus_{i ext{ in } I} V_i
$$

特に、添字集合 $I$ が整数の剰余類環 $Z/2Z$ の場合、超ベクトル空間と呼ばれ、物理学の領域でも重要視されています。

次数付き準同型

次数付きベクトル空間の間の線型写像$f: V
ightarrow W$が次数付き線型写像と見なされるためには、斉次成分の次数を保つ必要があります。つまり、次の条件を満たさなくてはなりません。

$$
f(V_i) ext{ が } W_i ext{ に含まれる} ext{ すべての } i ext{ に対して}
$$

このような写像は、次数線型空間間の準同型とも呼ばれます。以上の定義により、次数付き線型空間同士の演算が自然に定義されます。

次数線型空間の演算

同じ添字集合 $I$ に基づいた二つの次数付き線型空間 $V, W$ に対し、それらの直和は次のように表現されます。

$$
V igoplus W := igoplus_i X_i; ext{ ここで } X_i := V_i igoplus W_i ext{ (すべての } i ext{ に対して)}
$$

また、$I$ が半群の性質を持つ場合、他の演算、特にテンソル積も定義可能となります。

まとめ

次数付きベクトル空間の概念は、様々な数学的構造を支える基礎となっており、数理物理や代数幾何学など多彩な分野で広く利用されています。これにより、複雑な数理構造の理解がさらに深まることでしょう。

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