次数付き微分代数

数次数付き微分環について

次数付き微分環（Differential graded algebra）は、抽象代数学および代数的位相幾何学において不可欠な概念です。「次数付き」という言葉が示すように、これは多元環に加えて、鎖複体の特性も兼ね備えています。この環の適切な構造を定義すると、以下のような特徴を持つ組み合わせ、すなわち $(A, d)$ が存在します。

定義と特性

次数付き微分環は、特定の写像 $d: A → A$ を備えた次数付き多元環 $A$ で構成され、その写像は次数 1 または -1 である必要があります。主な条件としては、以下の2つが挙げられます。

1. $d ∘ d = 0$ である。
2. 積の微分に関するルール:
$$d(a ullet b) = (da) ullet b + (-1)^{ ext{deg}(a)} a ullet (db)$$
ここで、degは各成分の次数を表します。

このような定義をより簡潔に様々な解釈によって述べると、これは鎖複体全体のモノイド圏におけるモノイド対象と言えます。さらに、次数付き微分環同士の間の射（DG射）は、微分と両立する多元環の準同型であると説明されます。

追加の用語

次数付き微分添加代数（DGA）は、係数環へのDG射を持つように拡張されたこの概念で、特にアンリ・カルタンの提案によるものです。この用語は、文献によっては表現の違いが存在するため、注意が必要です。

例の紹介

具体的な例を考えると、コジュル複体は明確に次数付き微分環の定義を満たします。また、テンソル代数も同様に微分を導入して、次数付き微分環として機能します。さらに、特異コホモロジーがZ/pZ係数を使う場合、これはまた微分の概念に基づく次数付き微分環を形成します。

具体的には、短完全列に基づくボクシュタイン準同型により、環の乗法はカップ積として表現されます。可微分多様体上の微分形式についても、外微分と外積を考慮してこの構造を構築できます。ド・ラムコホモロジーがこの分野に関連する例の一つとなります。

ホモロジーと追加の事実

次数付き微分環 $(A, d)$ のホモロジー $H*(A) ≔ ker(d) / im(d)$ もまた、次数付き多元環として特性を示します。さらに、次数付き添加代数のホモロジーは通常の添加代数となるため、ホモロジー理論においても重要な役割を果たしています。

関連項目

このような構造を持つものとして、次数付き微分圏、次数付き微分リー環、及び次数付き微分スキームなどが挙げられます。これらは、対象間の関係性や運用の明確な理解を深めるために必須の概念です。

参考文献

最後に、次数付き微分環に関心のある読者には、Yuri Ivanovich ManinとSergei I. Gelfandの『Methods of Homological Algebra』を推奨します。この書籍には、ホモロジー理論についての詳しい解説が含まれています。

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