線型代数学の基本定理

線形代数学の基本定理

線形代数学の基本定理は、m×n行列Aとその特異値分解A=UΣV^Tに関するいくつかの定理を包括的にまとめたものです。この定理は、行列Aに関連する四つの基本部分空間—行空間、列空間、零空間、左零空間—の性質を深く理解する上で極めて重要です。

四つの基本部分空間

まず、m×n行列Aは、R^(m×n)に属します。この行列Aから導かれる四つの基本部分空間は以下の通りです。








ここで、rは行列Aの階数（rank）を表します。階数は、線形独立な行ベクトル（または列ベクトル）の数に等しく、行列のランクは行空間と列空間の次元を決定します。

部分空間間の関係

これらの部分空間の間には、重要な直交関係が存在します。具体的には、以下の関係が成り立ちます。

零空間と行空間は直交補空間である: Ker(A) = (Im(A^T))^⊥
左零空間と列空間は直交補空間である: Ker(A^T) = (Im(A))^⊥

これは、零空間の任意のベクトルと行空間の任意のベクトルとの内積がゼロになることを意味します。同様のことが左零空間と列空間についても成り立ちます。この直交関係は、部分空間間の幾何学的関係を明確に示しています。

次元定理

各部分空間の次元は、階数・退化次数の定理によって関連付けられています。この定理は、行列の階数r、行数m、列数nを用いて、以下の関係式で表されます。

dim(Im(A^T)) + dim(Ker(A)) = n
dim(Im(A)) + dim(Ker(A^T)) = m

これらの式は、行空間と零空間の次元の和が列数nに等しく、列空間と左零空間の次元の和が行数mに等しいことを示しています。

抽象ベクトル空間への拡張

線形代数の基本定理は、R^nやR^mといった具体的なベクトル空間だけでなく、より抽象的なベクトル空間VとW、および線形写像A: V→Wとその共役写像A: W→Vを用いて表現することができます。この場合、Aの核と像は、それぞれAの余核と余像に等しくなります。

まとめ

線形代数学の基本定理は、行列とその特異値分解を用いて、四つの基本部分空間の性質を詳細に記述する重要な定理です。これらの部分空間間の直交関係や次元に関する定理は、線形代数の様々な分野、特に連立一次方程式の解法や、最小二乗法などの応用において、基礎となる重要な概念です。この定理を理解することは、線形代数を深く理解する上で不可欠です。

もう一度検索