線形予測法
線形予測法（Linear Prediction）は、過去のデータ系列から未来の値を予測する数学的な手法です。特に、デジタル信号処理の分野では、線形予測符号（LPC）として知られ、デジタルフィルタの一種として扱われます。また、システム分析の分野では、数学的モデルや最適化手法として活用されています。
線形予測法では、ある離散信号の系列 \( x(n) \) に対して、過去の \( p \) 個の標本を用いて、現在の値 \( \hat{x}(n) \) を予測します。この予測値は、予測係数 \( a_i \) を用いて次のように表されます。
\[
\hat{x}(n) = -(a_1 x(n-1) + a_2 x(n-2) + ... + a_p x(n-p)) = -\sum_{i=1}^{p} a_i x(n-i)
\]
これは、過去の \( p \) 個のデータを用いた線形回帰モデルと見なすことができます。予測誤差 \( e(n) \) は、実際の値 \( x(n) \) と予測値 \( \hat{x}(n) \) の差として定義されます。
\[
e(n) = ||x(n) - \hat{x}(n)||
\]
予測係数 \( a_i \) の推定には様々な方法がありますが、最も一般的なのは二乗平均平方根基準（自己相関基準）を用いる方法です。この方法は、二乗誤差 \( E[e^2(n)] \) の期待値を最小化する係数を求めます。具体的には、以下の正規方程式（またはYule-Walker方程式）を解きます。
\[
\sum_{i=1}^{p} a_i R(i-j) = -R(j)
\]
ここで、\( 1 \le j \le p \) であり、\( R(i) = E\{x(n)x(n-i)\} \) は信号 \( x_n \) の自己相関関数を表します。この方程式を行列形式で表すと次のようになります。
\[
Ra = -r
\]
ここで、\( R \) は自己相関行列、\( r \) は自己相関ベクトル、\( a \) は係数ベクトルです。この自己相関行列はテプリッツ行列であり、対称性を持つため、効率的な解法が利用できます。また、より汎用的な形式として、以下の誤差関数を最小化する方式もあります。
\[
e(n) = x(n) - \hat{x}(n) = x(n) + \sum_{i=1}^{p} a_i x(n-i) = \sum_{i=0}^{p} a_i x(n-i)
\]
この場合、通常 \( a_0 = 1 \) と設定して、自明な解を避けます。
予測誤差の二乗和を最小化する方法もよく用いられます。予測誤差 \( e_n \) は、\( a_0 = 1 \) を用いて以下のように表されます。
\[
e_n = 1x_n - \hat{x_n} = a_0 x_n + \boldsymbol{x_{n-1:n-P}}^T \boldsymbol{a_{1:P}} = \boldsymbol{x_{n:n-P}}^T \boldsymbol{a_{0:P}}
\]
全時点での予測誤差の二乗和 \( e = \sum_{n}^{N} e_n^2 \) を最小化することで、予測係数を推定します。この時、\( a_q \) に関する偏微分が 0 となる条件から、以下の関係式が得られます。
\[
\sum_{p=0}^{P} a_p \sum_{n}^{N} x_{n-q} x_{n-p} = 0
\]
ここで、\( \sum_{n}^{N} x_{n-q} x_{n-p} \) はラグ \( |p-q| \) の自己相関関数 \( r_{|p-q|} \) とみなせるため、これを整理するとユールウォーカー方程式に帰着します。この方程式を解くことで予測係数を求めることができます。実際の計算では、高速な解法であるレビンソン再帰が用いられることが多いです。
信号の符号化では元信号から予測係数を計算しますが、信号生成タスクでは元信号が利用できません。そのため、スペクトルを自己相関関数に変換して予測係数を推定する方法があります。これは、ウィーナー＝ヒンチンの定理を利用し、パワースペクトル密度のフーリエ逆変換が自己相関関数となることを利用しています。具体的には、メルスペクトログラムやMFCCをパワースペクトル密度に変換し、フーリエ逆変換を適用して得られた自己相関関数から、テプリッツ行列を構成してユールウォーカー方程式を解くことで予測係数を求めます。
線形予測における係数は、様々な形式で表現できます。代表的な表現としては、以下のものがあります。
線形予測係数（LP係数）
線スペクトル周波数（LSF）
反射係数（RC）
自己相関（AC）
ログ面積比（LAR）
反射係数のアークサイン（ASRC）
* LP合成フィルタのインパルス応答（IR）
これらの係数表現は、ノイズ耐性や計算量などの特性が異なります。例えば、音声符号化では、アナログ回線に由来するノイズへの耐性を高めるために、LP係数以外の係数表現が用いられることがあります。
線形予測法は、過去のデータから未来の値を予測する強力なツールであり、音声や画像処理をはじめとする様々な分野で応用されています。その柔軟性と効率性から、今後もその重要性は増していくと考えられます。
モデル
線形予測法では、ある離散信号の系列 \( x(n) \) に対して、過去の \( p \) 個の標本を用いて、現在の値 \( \hat{x}(n) \) を予測します。この予測値は、予測係数 \( a_i \) を用いて次のように表されます。
\[
\hat{x}(n) = -(a_1 x(n-1) + a_2 x(n-2) + ... + a_p x(n-p)) = -\sum_{i=1}^{p} a_i x(n-i)
\]
これは、過去の \( p \) 個のデータを用いた線形回帰モデルと見なすことができます。予測誤差 \( e(n) \) は、実際の値 \( x(n) \) と予測値 \( \hat{x}(n) \) の差として定義されます。
\[
e(n) = ||x(n) - \hat{x}(n)||
\]
パラメータ推定
予測係数 \( a_i \) の推定には様々な方法がありますが、最も一般的なのは二乗平均平方根基準（自己相関基準）を用いる方法です。この方法は、二乗誤差 \( E[e^2(n)] \) の期待値を最小化する係数を求めます。具体的には、以下の正規方程式（またはYule-Walker方程式）を解きます。
\[
\sum_{i=1}^{p} a_i R(i-j) = -R(j)
\]
ここで、\( 1 \le j \le p \) であり、\( R(i) = E\{x(n)x(n-i)\} \) は信号 \( x_n \) の自己相関関数を表します。この方程式を行列形式で表すと次のようになります。
\[
Ra = -r
\]
ここで、\( R \) は自己相関行列、\( r \) は自己相関ベクトル、\( a \) は係数ベクトルです。この自己相関行列はテプリッツ行列であり、対称性を持つため、効率的な解法が利用できます。また、より汎用的な形式として、以下の誤差関数を最小化する方式もあります。
\[
e(n) = x(n) - \hat{x}(n) = x(n) + \sum_{i=1}^{p} a_i x(n-i) = \sum_{i=0}^{p} a_i x(n-i)
\]
この場合、通常 \( a_0 = 1 \) と設定して、自明な解を避けます。
二乗予測誤差
予測誤差の二乗和を最小化する方法もよく用いられます。予測誤差 \( e_n \) は、\( a_0 = 1 \) を用いて以下のように表されます。
\[
e_n = 1x_n - \hat{x_n} = a_0 x_n + \boldsymbol{x_{n-1:n-P}}^T \boldsymbol{a_{1:P}} = \boldsymbol{x_{n:n-P}}^T \boldsymbol{a_{0:P}}
\]
全時点での予測誤差の二乗和 \( e = \sum_{n}^{N} e_n^2 \) を最小化することで、予測係数を推定します。この時、\( a_q \) に関する偏微分が 0 となる条件から、以下の関係式が得られます。
\[
\sum_{p=0}^{P} a_p \sum_{n}^{N} x_{n-q} x_{n-p} = 0
\]
ここで、\( \sum_{n}^{N} x_{n-q} x_{n-p} \) はラグ \( |p-q| \) の自己相関関数 \( r_{|p-q|} \) とみなせるため、これを整理するとユールウォーカー方程式に帰着します。この方程式を解くことで予測係数を求めることができます。実際の計算では、高速な解法であるレビンソン再帰が用いられることが多いです。
スペクトル変換
信号の符号化では元信号から予測係数を計算しますが、信号生成タスクでは元信号が利用できません。そのため、スペクトルを自己相関関数に変換して予測係数を推定する方法があります。これは、ウィーナー＝ヒンチンの定理を利用し、パワースペクトル密度のフーリエ逆変換が自己相関関数となることを利用しています。具体的には、メルスペクトログラムやMFCCをパワースペクトル密度に変換し、フーリエ逆変換を適用して得られた自己相関関数から、テプリッツ行列を構成してユールウォーカー方程式を解くことで予測係数を求めます。
係数表現
線形予測における係数は、様々な形式で表現できます。代表的な表現としては、以下のものがあります。
線形予測係数（LP係数）
線スペクトル周波数（LSF）
反射係数（RC）
自己相関（AC）
ログ面積比（LAR）
反射係数のアークサイン（ASRC）
* LP合成フィルタのインパルス応答（IR）
これらの係数表現は、ノイズ耐性や計算量などの特性が異なります。例えば、音声符号化では、アナログ回線に由来するノイズへの耐性を高めるために、LP係数以外の係数表現が用いられることがあります。
まとめ
線形予測法は、過去のデータから未来の値を予測する強力なツールであり、音声や画像処理をはじめとする様々な分野で応用されています。その柔軟性と効率性から、今後もその重要性は増していくと考えられます。
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